已知函数f（x）=x|x|+px+q（x∈R），给出下列四个命题：①f（x）为奇函数的充要条件是q=0；②f（x）的图象关于点（0，q）对称；③当p=0时，方程
题型：填空题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x|x|+px+q（x∈R），给出下列四个命题：①f（x）为奇函数的充要条件是q=0；②f（x）的图象关于点（0，q）对称；③当p=0时，方程f（x）=0的解集一定非空；④方程f（x）=0的解的个数一定不超过两个．
其中所有正确命题的序号是______． |
答案
①q=0时，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函数，反之也成立，故①正确；
②由①可知q=0时，f（x）图象关于原点对称，f（x）=x|x|+px+q的图象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位，故关于（0，q）对称正确；
对于③当p=0时，函数f（x）是增函数，方程f（x）=0的解集一定非空，正确；
对于④取p=-1，q=0，则f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故④错误；
故答案为：①②③． |
举一反三
已知函数g(x)=(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x-2-x2（x∈A）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）． |
已知α为锐角，且tanα=-1，函数f(x)=x2tan2α+x•sin(2α+)，数列{an}的首项a1=，an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）对任意n∈[1，4]，an≤(m2+m)都成立，求实数m的取值范围． |
| 设函数f（x）=|-x2+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值为m．若m≥k对任意的b、c恒成立，则k的最大值是（ ） |
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数g(x)=x3+x2[+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值？
（3）当a=2时，设函数g(x)=(ρ-2)x+-3，若对任意地x∈[1，2]，f（x）≥g（x）恒成立，求实数p的取值范围． |
已知f(x)=，g（x）=x3-3a2x-2a（a≥1），且它们定义域均为[0，1]
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）判断函数g（x）的单调性并予以证明；
（3）若对任意t∈[0，1]，总有g（x）≤f（t）在x∈[0，1]时恒成立，求a的取值范围． |
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