已知函数f(x)=x3-log3(x2+1-x),则对于任意实数a、b,a+b≠0,f(a)+f(b)a+b取值的情况是(  )A.大于0B.小于0C.等于0D

已知函数f(x)=x3-log3(x2+1-x),则对于任意实数a、b,a+b≠0,f(a)+f(b)a+b取值的情况是(  )A.大于0B.小于0C.等于0D

题型:单选题难度:简单来源:武昌区模拟
已知函数f(x)=x3-log3


x2+1
-x),则对于任意实数a、b,a+b≠0,
f(a)+f(b)
a+b
取值的情况是(  )
A.大于0B.小于0C.等于0D.不确定
答案
∵函数f(x)=x3-log3


x2+1
-x),
∴f(-x)=(-x)3-log3(


(-x)2+1
-(-x))
=-x3-log3
1


x2+1
-x
=-x3+log3(


x2+1
-x)
=-f(x).


x2+1
-x=
1


x2+1
+x
在R上单调减,x3在R上单调增
∴函数f(x)=x3-log3


x2+1
-x)是奇函数,且在R上单调增.
不妨设a+b>0,则a>-b,所以f(a)>f(-b),
所以f(a)+f(b)>0,
所以
f(a)+f(b)
a+b
>0.
故选  A.
举一反三
(理)已知函数f(x)=x2+bsinx-2,(b∈R),且对任意x∈R,有f(-x)=f(x).
(I)求b.
(II)已知g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围.
(III)讨论函数h(x)=ln(1+x2)-
1
2
f(x)-k的零点个数?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若∀x∈[-2-


2
,2+


2
]
,不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2n(n∈N*).
(1)证明数列{
an
2n
}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式an

(2)求等差数列{bn}(n∈N*),使b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1对n∈N*都成立;
(3)令cn=nbn(n∈N*),是否存在正常数M,使
c1
a1
+
c2
a2
+
c3
a3
+…+
cn
an
<M对n∈N*恒成立,并证明你的结论.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x3+mx2+(1-m)x.
(I)当m=2时,求f(x)的解析式;
(II)设曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率为k,且对于任意的x0∈[-1,1]-1≤k≤9,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设定义在R上的函数f(x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4(a0,a1,a2,a3,a4∈R),当x=-1时f(x)取得极大值
2
3
,且函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)试在函数y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间[-


2


2
]上.
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