已知函数f（x）=x3-log3（x2+1-x），则对于任意实数a、b，a+b≠0，f(a)+f(b)a+b取值的情况是（　　）A．大于0B．小于0C．等于0D

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已知函数f（x）=x3-log3（x2+1-x），则对于任意实数a、b，a+b≠0，f(a)+f(b)a+b取值的情况是（　　）A．大于0B．小于0C．等于0D

题型：单选题难度：简单来源：武昌区模拟
已知函数f（x）=x3-log3（


x2+1
-x），则对于任意实数a、b，a+b≠0，
f(a)+f(b)
a+b
取值的情况是（　　）
A．大于0B．小于0C．等于0D．不确定
答案
∵函数f（x）=x3-log3（


x2+1
-x），
∴f（-x）=（-x）3-log3(


(-x)2+1
-(-x))=-x3-log3
1


x2+1
-x
=-x3+log3(


x2+1
-x)=-f（x）．


x2+1
-x=
1


x2+1
+x
在R上单调减，x3在R上单调增
∴函数f（x）=x3-log3（


x2+1
-x）是奇函数，且在R上单调增．
不妨设a+b＞0，则a＞-b，所以f（a）＞f（-b），
所以f（a）+f（b）＞0，
所以
f(a)+f(b)
a+b
＞0．
故选  A．
举一反三
（理）已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（I）求b．
（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（III）讨论函数h（x）=ln（1+x2）-
1
2
f（x）-k的零点个数？
题型：解答题难度：一般| 查看答案
设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若∀x∈[-2-


2
，2+


2
]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范是______．
题型：填空题难度：一般| 查看答案
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*）．
（1）证明数列{
an
2n
}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式an；
（2）求等差数列{bn}（n∈N*），使b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1对n∈N*都成立；
（3）令cn=nbn（n∈N*），是否存在正常数M，使
c1
a1
+
c2
a2
+
c3
a3
+…+
cn
an
＜M对n∈N*恒成立，并证明你的结论．
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已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x3+mx2+（1-m）x．
（I）当m=2时，求f（x）的解析式；
（II）设曲线y=f（x）在x=x0处的切线斜率为k，且对于任意的x0∈[-1，1]-1≤k≤9，求实数m的取值范围．
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设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4∈R），当x=-1时f（x）取得极大值
2
3
，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）试在函数y=f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-


2
，


2
]上．
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