设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证
题型：解答题难度：一般来源：不详
设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）试问：当-3≤x=0≤3时，x=1是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由． |
答案
（1）令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x），
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，
（2）设-3≤x1＜x2≤3，令y=-x1，x=x2
则f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1），
因为x＞0时，f（x）＜0，
故f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0．
∴f（x2）＜f（x1）、f（x）在区间[-3，3]上单调递减，
∴x=-3时，f（x）有最大值，
f（-3）=-f（3）=-f（2+1）=-[f（2）+f（1）]=-[f（1）+f（1）+f（1）]=6．
x=3时，f（x）有最小值为f（3）=-6． |
举一反三
已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0时，f（x）＞0，证明：f（x）在R上为增函数；
（3）在条件（2）下，若f（1）=2，解不等式：f（x2+1）-f（2x+5）＜4． |
已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（）．又数列{an}满足，a1=，an+1=．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（an）的表达式；
（III）设bn=，Tn为数列{bn}的前n项和，若T2n+1-Tn≤（其中m∈N*）对N∈N*恒成立，求m的最小值． |
| 已知函数f(x)=是连续函数，则实数a的值是 ______． |
已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．
设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．
（Ⅰ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．
①求映射f下不动点的坐标；
②若P1的坐标为（1，2），判断点Pn（xn，yn）（n∈N*）是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．
（Ⅱ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(+1，)，P1（2，3）．求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为的收敛圆． |
| 已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且函数f（2x+1）的周期为5，若f（1）=5，则f（2009）+f（2010）的值为（ ） |
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