设函数f(x)对任意x,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f(1)=-1(1)求证:f(x)是奇函数(2)判断f(x)的单调性并证明
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)对任意x,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f(1)=-1 (1)求证:f(x)是奇函数 (2)判断f(x)的单调性并证明 (3)试问当-3≤x≤3时f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没有说出理由 |
答案
(1)令x=y=0,f(0)=0 令y=-x ∴f(-x)+f(x)=f(0)=0 ∴f(x)是奇函数 (2)设x1>x2 ∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0 ∴f(x)是减函数 (3)f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-3 f(-3)=3 由(2)知f(x)是减函数 ∴最大值为3,最小值为-3 |
举一反三
已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的函数y=f(x)满足条件:对于定义域内任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求证:f()=-f(x),且f(x)是偶函数; (2)请写出一个满足上述条件的函数. |
已知f(x)=asin2x+btanx+1,且f(-2)=4,那么f(π+2)=______. |
已知函数f(x)定义在R上,并且对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且x≠y时,f(x)≠f(y),x>0时,有f(x)>0. (1)判断f(x)的奇偶性; (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x)-f()≥2. |
设函数f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为“倍约束函数”.现给出下列函数: ①f(x)=2x;②f(x)=x2+1;③f(x)=sin(x+);④f(x)是定义在实数集R的奇函数,且对一切x1,x2均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|. 其中是“倍约束函数”的是______.(写出所有正确命题的序号) |
设定义在R上的函数f(x)对于任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(1)=-2,当x>0时,f(x)<0 (1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)试问:当-3≤x=0≤3时,x=1是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由. |
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