已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件f(-1),当x∈R时x≤f(x)≤(x+1)24恒成立.(1)求f(1);(2)求f(x)的解析式;(3)若x1
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件f(-1),当x∈R时x≤f(x)≤(x+1)24恒成立.(1)求f(1);(2)求f(x)的解析式;(3)若x1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c满足条件f(-1),当x∈R时x≤f(x)
≤
(x+1)
2
4
恒成立.
(1)求f(1);
(2)求f(x)的解析式;
(3)若x
1
,x
2
∈(0,+∞),且
1
x
1
+
1
x
2
=2
,求证:f(x
1
)•f(x
2
)≥1.
答案
(1)∵x≤f(x)
≤
(x+1)
2
4
∴当x=1时.1≤f(1)
≤
(1+1)
2
4
=1
.
∴f(1)=1.
(2)由(1)知a+b+c=1,又f(-1)=0,∴a-b+c=0
从而
b=
1
2
a+c=
1
2
,又x∈R时,f(x)≥x恒成立.
即ax
2
+(b-1)x+c≥0,故
a>0
△=
(b-1)
2
-4ac≤0
∴
ac≥
1
16
∴c>0 而
a+c=
1
2
≥ 2
ac
∴
ac≤
1
16
∴
ac=
1
16
∴a=c=
1
4
.∴
f(x)=
1
4
x
2
+
1
2
x+
1
4
.
(3)∵
1
x
1
+
1
x
2
=2
,x
1
,x
2
∈(0,+∞),
∴x
1
+x
2
=2x
1
x
2
∴
x
1
+
x
2
≥2
x
1
x
2
(当且仅当x
1
=x
2
=1时取等号)
∴
2
x
1
x
2
≥2
x
1
x
2
∴x
1
x
2
≥1.
又(x
1
+1)(x
2
+1)=x
1
x
2
+x
1
+x
2
+1=3x
1
x
2
+1≥4.
∴f(x
1
)•f(x
2
)=
(
x
1
+1)
2
4
•
(
x
2
+1)
2
4
≥ 1
(当且仅当x
1
=x
2
=1时取等号)
举一反三
已知f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x
2
+x,则x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若函数
f(x)=a+
1
2
x
+1
为奇函数,则a=______;
已知f(x)=x
5
+px
3
+qx-8,满足f(-2)=10,则f(2)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
函数
y=x+
1
x
的图象关于( )
A.y轴对称
B.原点对称
C.x轴对称
D.直线y=x对称
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=lg(
1+x
1-x
)
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(3)求满足函数f(x)>0的解集.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
如果函数f(x)=x
2
-2ax+6是偶函数,则f(x)的单调增区间是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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