已知函数f(x)=x2+2x+ax,x∈[1,+∞).(I)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;(II)若对任意a∈[-1,1],
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已知函数f(x)=x2+2x+ax,x∈[1,+∞).(I)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;(II)若对任意a∈[-1,1],
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
x
2
+2x+a
x
,x∈[1,+∞)
.
(I)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;
(II)若对任意a∈[-1,1],f(x)>4恒成立,求实数x的取值范围.
答案
(I)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,
即
x
2
+2x+a
x
>0,x∈[1,+∞)
恒成立,
亦即x
2
+2x+a>0,x∈[1,+∞)恒成立,
即a>-x
2
-2x,x∈[1,+∞)恒成立,
即a>(-x
2
-2x)
max
,x∈[1,+∞),
而(-x
2
-2x)
max
=-3,x∈[1,+∞),
∴a>-3.
所以对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,实数a的取值范围为{a|a>-3};(6分)
(II)∵a∈[-1,1]时,f(x)>4恒成立,
即
x
2
+2x+a
x
>4,x∈[1,+∞)
恒成立;
∴x
2
-2x+a>0对a∈[-1,1]恒成立,
把g(a)=a+(x
2
-2x)看成a的一次函数,
则使g(a)>0对a∈[-1,1]恒成立的条件是
g(1)>0
g(-1)>0
,即
x
2
-2x+1>0
x
2
-2x-1>0
,
解得x<1-
2
或x>
2
+1
.
又x≥1,∴
x>
2
+1
,
故所求x的范围是(
2
+1,+∞)
(12分)
举一反三
若f(x)是在(-l,l)内的可导奇函数,且f′(x)不恒为0,则f′(x)( )
A.必为(-l,l)内的奇函数
B.必为(-l,l)内的偶函数
C.必为(-l,l)内的非奇非偶函数
D.可能为奇函数也可能为偶函数
题型:单选题
难度:一般
|
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已知
α∈(0,
π
2
)
,x∈R,函数f(x)=sin
2
(x+α)+sin
2
(x-α)-sin
2
x.
(1)求函数f(x)的奇偶性;
(2)是否存在常数α,使得对任意实数x,
f(x)=f(
π
2
-x)
恒成立;如果存在,求出所有这样的α;如果不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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(文)下列函数中,不是奇函数的是( )
A.
y=lg(x+
x
2
+1
)
B.y=5
-x
+5
x
C.
y=lg
x+5
x-5
D.
y=
e
x
-
e
-x
2
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=x
2
-bsinx为偶函数,则b=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=
2
x
4
x
+1
.
(1)求函数f(x)在(-1,1)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(-1,0)上的单调性并证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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