已知定义域为x∈R|x≠0的函数f(x)满足;①对于f(x)定义域内的任意实数x,都有f(-x)+f(x)=0;②当x>0时,f(x)=x2-2.(I)求f(x

已知定义域为x∈R|x≠0的函数f(x)满足;①对于f(x)定义域内的任意实数x,都有f(-x)+f(x)=0;②当x>0时,f(x)=x2-2.(I)求f(x

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义域为x∈R|x≠0的函数f(x)满足;
①对于f(x)定义域内的任意实数x,都有f(-x)+f(x)=0;
②当x>0时,f(x)=x2-2.
(I)求f(x)定义域上的解析式;
(II)解不等式:f(x)<x.
答案
(I)∵对于f(x)定义域内的任意实数x,都有f(-x)+f(x)=0,
∴f(-x)=-f(x),
故f(x)在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数(2分)
∵当x>0时,f(x)=x2-2,
设x<0,所以-x>0,
∴f(-x)=-f(x)=x2-2,即f(x)=2-x2
f(x)=





x2-2(x>0)
2-x2(x<0)
;(6分)
(II)∵当x>0时,x2-2<x,
化简得(x-2)(x+1)<0,
解得:-1<x<2,
所以不等式的解集为0<x<2;
当x<0时,2-x2<x,
化简得:(x-1)(x+2)>0,
解得:x>1或x<-2,
所以不等式的解集为x<-2,
综上,不等式f(x)<x的解集为{x|0<x<2或x<-2}.(10分)
举一反三
对∀a、b∈R,运算“⊕”、“⊗”定义为a⊕b=





a,a<b
b,a≥b
,a⊗b=





a,a≥b
b,a<b
,则下列各式恒成立的是(  )
①a⊗b+a⊕b=a+b;
②a⊗b-a⊕b=a-b;
③[a⊗b]•[a⊕b]=a•b
④[a⊗b]÷[a⊕b]=a÷b.
A.①④B.②③C.①③D.②④
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奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=2x-1,则f(
3
2
)
=(  )
A.-


2
B.


2
C.-


2
2
D.


2
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=
x2+2x+a
x
,x∈[1,+∞)

(I)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;
(II)若对任意a∈[-1,1],f(x)>4恒成立,求实数x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若f(x)是在(-l,l)内的可导奇函数,且f′(x)不恒为0,则f′(x)(  )
A.必为(-l,l)内的奇函数
B.必为(-l,l)内的偶函数
C.必为(-l,l)内的非奇非偶函数
D.可能为奇函数也可能为偶函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知α∈(0,
π
2
)
,x∈R,函数f(x)=sin2(x+α)+sin2(x-α)-sin2x.
(1)求函数f(x)的奇偶性;
(2)是否存在常数α,使得对任意实数x,f(x)=f(
π
2
-x)
恒成立;如果存在,求出所有这样的α;如果不存在,请说明理由.
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