已知定义域为x∈R|x≠0的函数f（x）满足；①对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x2-2．（I）求f（x
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知定义域为x∈R|x≠0的函数f（x）满足；
①对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0；
②当x＞0时，f（x）=x2-2．
（I）求f（x）定义域上的解析式；
（II）解不等式：f（x）＜x． |
答案
（I）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数（2分）
∵当x＞0时，f（x）=x2-2，
设x＜0，所以-x＞0，
∴f（-x）=-f（x）=x2-2，即f（x）=2-x2，
则f(x)=；（6分）
（II）∵当x＞0时，x2-2＜x，
化简得（x-2）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜2，
所以不等式的解集为0＜x＜2；
当x＜0时，2-x2＜x，
化简得：（x-1）（x+2）＞0，
解得：x＞1或x＜-2，
所以不等式的解集为x＜-2，
综上，不等式f（x）＜x的解集为{x|0＜x＜2或x＜-2}．（10分） |
举一反三
对∀a、b∈R，运算“⊕”、“⊗”定义为a⊕b=，a⊗b=，则下列各式恒成立的是（ ）
①a⊗b+a⊕b=a+b；
②a⊗b-a⊕b=a-b；
③[a⊗b]•[a⊕b]=a•b
④[a⊗b]÷[a⊕b]=a÷b． |
| 奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x-1，则f()=（ ） |
已知函数f(x)=，x∈[1，+∞)．
（I）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（II）若对任意a∈[-1，1]，f（x）＞4恒成立，求实数x的取值范围． |
若f（x）是在（-l，l）内的可导奇函数，且f′（x）不恒为0，则f′（x）（ ）| A．必为（-l，l）内的奇函数 | | B．必为（-l，l）内的偶函数 | | C．必为（-l，l）内的非奇非偶函数 | | D．可能为奇函数也可能为偶函数 |
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已知α∈(0，)，x∈R，函数f（x）=sin2（x+α）+sin2（x-α）-sin2x．
（1）求函数f（x）的奇偶性；
（2）是否存在常数α，使得对任意实数x，f(x)=f(-x)恒成立；如果存在，求出所有这样的α；如果不存在，请说明理由． |
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