若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.

若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.

题型:填空题难度:一般来源:不详
若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.
答案
由题意可得:不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)x2-2xy+my2≥0对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)(
x
y
)
2
-2
x
y
+m≥0对于一切正数x,y恒成立,
设t=
x
y
,则有t>0,
所以(2m-1)t2-2t+m≥0对于一切t∈(0,+∞)恒成立,
设f(t)=(2m-1)t2-2t+m,(t>0),
①m=
1
2
时,显然不符合题意,故舍去.
②当m
1
2
时,函数的对称轴为t0=
1
2m-1

所以由题意可得:





2m-1>0
△=4-4(2m-1)m≤0
,解得m≥1.
故答案为1.
举一反三
设f(x)=ax5+bx3-cx+2,已知f(-3)=9,则f (3)的值是(  )
A.9B.-7C.-5D.-11
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数f(x)对任意的实数a,b都满足:f(a+b)=f(a)+f(b),且f(2)=1,则f(-2)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数y=f(x)的图象关于y轴对称,且满足f(x-2)=ax2-(a-3)x+(a-2).
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)g(x)=f[f(x)],F(x)=pg(x)+f(x),问是否存在p(p<0)使F(x)在区间(-∞,-3]上是减函数,且在区间(-3,0)内是增函数?试证明你的结论.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=loga(kax+1-a),(a>1,k∈R).
(1)当k=1时,求f(x)的定义域;
(2)若f(x)在区间[0,10]上总有意义,求k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
2x
x+1

(1)当x≥1时,证明:不等式f(x)≤x+lnx恒成立.
(2)若数列{an}满足a1=
2
3
,an+1=f(an),bn=
1
an
-1
,n∈N+,证明数列{bn}是等比数列,并求出数列{bn}、{an}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,若cn=an•an+1•bn+1(n∈N+),证明:c1+c2+c3+…cn
1
3
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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