已知f(x)=(1ax-1+12)x(a＞0，a≠1)．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）若f（x）＞0在定义域上恒成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)=(

1

ax-1

+

1

2

)x(a＞0，a≠1)．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）＞0在定义域上恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）由a^x-1≠0得x≠0，即函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}（2分）
对于定义域的任意x，
有f(-x)=(

1

a-x-1

+

1

2

)(-x)=(

ax

1-ax

+

1

2

)(-x)=(

ax-1+1

1-ax

+

1

2

)(-x)=(

1

1-ax

-

1

2

)(-x)=(

1

ax-1

+

1

2

)x=f(x)，
∴f（x）为偶函数（6分）
（2）当a＞1时，若x＞0则a^x＞1
∴a^x-1＞0，∴

1

ax-1

+

1

2

＞0，
又x＞0，∴f（x）＞0又f（x）为偶函数，
当x＜0时，-x＞0有，f（x）=f-x）＞0，
当0＜a＜1时f(x)=(

1

ax-1

+

1

2

)x，
当x＞0时0＜a^x＜1，-1＜a^x-1＜0，则

1

ax-1

＜-1∴f（x）＜0不满足题意
又f（x）为偶函数，当x＜0时-x＞0，有f（x）=f-x）＜0不满足题意．
综上可知：a＞1．