已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx（a＞0）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上总存在x1，x2，使得（x1-x2）
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx（a＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上总存在x1，x2，使得（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，求实数a的取值范围． |
答案
（I）函数y=f（x）的定义域为：（0，+∞）
因为f（x）=x2-（2a+1）x+alnx（a＞0）
所以f"（x）=2x-（2a+1）+=
令f"（x）=0则x1=，x2=a
（i）当0＜a＜时，由f"（x）＞0得x∈（0，a），（，+∞）
由f"（x）＜0得，x∈（a，）
所以函数f（x）的单调递减区间是（a，）
（ii）a=时，f"（x）≥0
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）
（iii）当a＞时由f"（x）＞0得x∈（0，），（a，+∞）
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，），（a，+∞）
由f"（x）＜0得x∈（，a）
所以函数f（x）的单调递减区间是（，a）
（II）要使函数f（x）在[1，2]上总存在x1，x2，使得（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，即
函数f（x）在[1，2]上不是单调递减函数．
由（I）可知，函数f（x）在[1，2]上单调递减时，a∈[2，+∞）
所以a∈（0，2）时，函数f（x）在[1，2]上不是单调递减函数．
所以函数f（x）在[1，2]上总存在x1，x2，使得（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，
实数a的取值范围是（0，2）． |
举一反三
| 若函数f（x）=是奇函数，则函数g（x）的解析式是______． |
| 已知x∈R，奇函数f（x）=x3-ax2-bx+c在[1，+∞）上单调，则字母a，b，c应满足的条件是______． |
| f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x-2，则f(log6)的值等于（ ） |
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，3），（0，0），（2，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若∀x∈[0，3]，3t-t2-3≤f（x）≤12-t2成立，求t的取值范围． |
已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x2-4x-3，
（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的零点． |
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