已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-4x-3,(1)当x∈(0,+∞)时,f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的零点.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-4x-3, (1)当x∈(0,+∞)时,f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的零点. |
答案
(1)当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0) 则f(-x)=-(-x)2-4(-x)-3=-x2+4x-3 ∵f(x)是R的奇函数∴f(-x)=-f(x) ∴当x∈(0,+∞)时,f(x)=-f(-x)=-[-x2+4x-3]=x2-4x+3 (2)∵f(x)是R的奇函数∴f(0)=0 ∴f(x)= | x2-4x+3,x>0 | 0,x=0 | -x2-4x-3,x<0 |
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令f(x)=0解得x=0或x=1或x=3或x=-1或x=-3 ∴f(x)的零点为0,±1,±3 |
举一反三
设函数y=f(x)的图象与y=log2(1-x)的图象关于直线x=1对称,则y=f(x)为( )A.y=log2(1+x) | B.y=log2(x-1) | C.y=log2(x-2) | D.y=log2(2-x) |
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已知偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( )A.{x|x<-2或x>4} | B.{x|x<0或x>6} | C.{x|x<-2或x>2} | D.{x|x<0或x>4} |
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设Q为有理数集,函数f(x)=g(x)=,则函数h(x)=f (x)•g(x)( )A.是奇函数但不是偶函数 | B.是偶函数但不是奇函数 | C.既是奇函数也是偶函数 | D.既不是偶函数也不是奇函数 |
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设f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上有xf′(x)+f(x)<0且f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为( )A.{x|-2<x<0或x>2} | B.{x|x<-2或0<x<2} | C.{x|x<-2或x>2} | D.{x|-2<x<0或0<x<2} |
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已知不等式+ ≥8-a对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( ) |
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