已知函数f(x)=x3-3|x-a|+λ•sin(π•x),其中a,λ∈R;(1)当a=0时,求f(1)的值并判断函数f(x)的奇偶性;(2)当a=0时,若函数
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x3-3|x-a|+λ•sin(π•x),其中a,λ∈R; (1)当a=0时,求f(1)的值并判断函数f(x)的奇偶性; (2)当a=0时,若函数y=f(x)的图象在x=1处的切线经过坐标原点,求λ的值; (3)当λ=0时,求函数f(x)在[0,2]上的最小值. |
答案
(1)a=0时f(x)=x3-3|x|+λ•sin(π•x) f(-1)=-4,f(1)=-2, 所以f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1), 所以f(x)时非奇非偶函数 (2)x>0时,f(x)=x3-3x+λsin(πx),所以f"(x)=3x2-3+λπcos(πx) 所以在x=1处的切线方程为y+2=-λπ(x-1) 因为过原点,所以λ= (3)当a≤0时,x∈[0,2]上f(x)=x3-3x+3a,f"(x)=3x2-3, 所以f(x)在[0,1]内单调递减,[1,2]递增,所以ymin=f(1)=3a-2 当a≥2时,x∈[0,2]上f(x)=x3+3x-3a,f"(x)=3x2+3>0, 所以f(x)单调递增,ymin=f(0)=-3a 当0<a<2时,f(x)= | x3+3x-3a(0≤x≤a) | x3-3x+3a(a≤x≤2) |
| | , 当0≤x≤a时,f"(x)=3x2+3>0,所以f(x)单调递增,ymin=f(0)=-3a 当a≤x≤2时,因f"(x)=3x2-3,所以f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上递增,所以若0<a≤1, 则ymin=f(1)=3a-2,当1<a<2时ymin=f(a)=a3 而0<a≤1时 3a-2-(-3a)=6a-2, 所以,x∈[0,2]时ymin= | f(0)=-3a<a≤1 | f(1)=3a-2,0<a≤ |
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同样1<a<2,因a3>-3a,所以ymin=f(0)=-3a 综上:a≤时,ymin=f(1)=3a-2a>时,ymin=f(0)=-3a |
举一反三
已知偶函数y=f(x)对任意实数x都有f(x+1)=-f(x),且在[0,1]上单调递减,则( )A.f()<f()<f() | B.f()<f()<f() | C.f()<f()<f() | D.f()<f()<f() |
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已知f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,且当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)是否存在实数a<0,使得当x∈[-e,0)时,函数f(x)的最小值是3? |
已知f(x)是定义在实数集上的函数,且f(x+2)=,若f(1)=2+,则f(2005)=______. |
已知数列{an}的首项a1=1,且点An(an,an+1)在函数y=的图象上. (1)证明:{}为等差数列,并求{an}的通项公式. (2)若{bn}表示直线AnAn+1的斜率,且bn>m2-2m+对n∈N*恒成立,求实数m的取值范围. |
若函数f(x)=是奇函数,则函数g(x)的解析式是______. |
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