已知f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,且当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)是否存在实数a<0,使
题型:解答题难度:一般来源:西安模拟
已知f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,且当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)是否存在实数a<0,使得当x∈[-e,0)时,函数f(x)的最小值是3? |
答案
(Ⅰ)设x∈[-e,0),则-x∈(0,e],故f(-x)=-ax+ln(-x). 又f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,∴-f(x)=-ax+ln(-x), ∴f(x)=ax-ln(-x),故f(x)= | ax+lnx x∈(0,e] | ax - ln(-x) x∈[-e,0) |
| | . (Ⅱ)假设存在实数a<0,使得当x∈[-e,0)时,函数f(x)的最小值是3, 则由f′(x)=a-= 知, ①当≤-e,即-≤a<0时,由x∈[-e,0)得f′(x)≥0,故f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数, 故f(x)的最小值为f(-e)=-ae-1=3,解得 a=-<- (舍去). ②当x∈(0,e],即a<-,则有当x∈[-e,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,f(x)的最小值等于 f()=1-ln(-)=3, 解得 a=-e2. 综上,存在实数a=-e2,似的当x∈[-e,0)时,函数f(x)的最小值是3. |
举一反三
已知f(x)是定义在实数集上的函数,且f(x+2)=,若f(1)=2+,则f(2005)=______. |
已知数列{an}的首项a1=1,且点An(an,an+1)在函数y=的图象上. (1)证明:{}为等差数列,并求{an}的通项公式. (2)若{bn}表示直线AnAn+1的斜率,且bn>m2-2m+对n∈N*恒成立,求实数m的取值范围. |
若函数f(x)=是奇函数,则函数g(x)的解析式是______. |
定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),又设g1(x)=f(x+3),g2(x)=f(3-x),给出下列四个命题: ①f(x)的图象关于直线x=1对称,g1(x)的图象与g2(x)的图象关于直线x=3对称; ②f(x)的图象关于直线x=1对称,g1(x)的图象与g2(x)的图象关于直线x=0对称; ③f(x)的周期为4,g1(x)与g2(x)的周期均为2; ④f(x)的图象关于直线x=2对称,g1(x)的图象与g2(x)的图象关于直线x=3对称.其中正确的命题有______(填入正确命题的序号). |
已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a、b∈R). (I)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求f(x)的解析式; (II)若x∈[0,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,当k≥-1恒成立时,求实数a的取值范围. |
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