已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a、b∈R).(I)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求f(x)的解析式;(II)若x∈[0,1]
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a、b∈R). (I)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求f(x)的解析式; (II)若x∈[0,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,当k≥-1恒成立时,求实数a的取值范围. |
答案
(I)由f′(x)=-3x2+2ax得x=0或x=. ∴=4得a=6.(3分) 当x<0,f′(x)<0.当0<x<4时,f′(x)>0. 故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,∴b=-1. ∴f(x)=-x3+6x2-1;(6分) (II)当x∈[0,1]时, k=f′(x)=-3x2+2ax≥-1恒成立, 即令g(x)=3x2-2ax-1≤0 对一切x∈[0,1]恒成立,(9分) 只需即a≥1. 所以,实数a的取值范围为[1,+∞).(12分) |
举一反三
已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a>0) (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)在[1,2]上总存在x1,x2,使得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,求实数a的取值范围. |
若函数f(x)=是奇函数,则函数g(x)的解析式是______. |
已知x∈R,奇函数f(x)=x3-ax2-bx+c在[1,+∞)上单调,则字母a,b,c应满足的条件是______. |
f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+2)=f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=2x-2,则f(log6)的值等于( ) |
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-1,3),(0,0),(2,0). (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)若∀x∈[0,3],3t-t2-3≤f(x)≤12-t2成立,求t的取值范围. |
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