己知实数m≠0,又a=(x2-1,mx),b=(mx,1m),设函数f(x)=a•b.(1)若m>0,且f(-2)=f(2),求m的值;(2)若对一切正整数k,

己知实数m≠0,又a=(x2-1,mx),b=(mx,1m),设函数f(x)=a•b.(1)若m>0,且f(-2)=f(2),求m的值;(2)若对一切正整数k,

题型:解答题难度:一般来源:不详
己知实数m≠0,又


a
=(x2-1,mx),


b
=(mx
1
m
)
,设函数f(x)=


a


b

(1)若m>0,且f(-2)=f(2),求m的值;
(2)若对一切正整数k,有f(2k)>f(2k-1),求m的取值范围.
答案


a
=(x2-1,mx),


b
=(mx
1
m
)
,设函数f(x)=


a


b

可得f(x)=(x2-1)mx+mx-1
(1)由题知3m-2+m-3=3m2+m,即m-4(3m2+m)=3m2+m,
∴m-4=1,
∴m=±1,又m>0,
∴m=1;
(2)由题知(4k2-1)m2k+m2k-1>(4k2-4k)m2k-1+m2k-2,两边同除m2k-2
得(4k2-1)m2+m>(4k2-4k)m+1,
整理得4(m2-m)k2+4mk-m2+m-1>0
记g(k)=4(m2-m)k2+4mk-m2+m-1
①当m2-m>0,即m>1或m<0时,g(k)的对称轴为k=-
1
2(m-1)
<1

故要使g(k)>0对一切正整数k恒成立,只需g(1)>0
即3m2+m-1>0,解得m>
-1+


13
6
m<
-1-


13
6

∴m>1或m<
-1-


13
6

②当m2-m=0,即m=0或1时,m=0时,等价于-1>0恒成立,显然不符合题意m=1时,等价于4k-1>0对一切正整数k恒成立,显然符合题意
③当m2-m<0,即0<m<1时,g(k)是开口向下的抛物线,由图象知对一切正整数k,g(k)>0不可能恒成立
综上所述m<
-1-


13
6
或m≥1.
举一反三
设函数f(x)=x3-ax2+3x+b,a,b是实常数,其图象在点(1,f(1))处的切线平行于x轴.
(1)求a的值;
(2)若对任意x∈[-1,4],都有f(x)>f′(x)成立,求b的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=(a-1)x2+
a+1
x
-(a+1)x(a∈R)

(Ⅰ)讨论f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)当f(x)为奇函数时,判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=1+2x-x2;则当x<0时,f(x)=(  )
A.1+2x-x2B.1-2x-x2C.1+2x+x2D.1-2x+x2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=lnx-
a
x
+2.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若xlnx≤mx2-
1
2
在x∈[
1
e
,1]上恒成立,求m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义两种运算:a⊕b=


a2-b2
,a⊗b=


(a-b)2
,则函数f(x)=
3⊕x
(x⊗3)-3
为(  )
A.偶函数B.奇函数
C.奇函数且为偶函数D.非奇函数且非偶函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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