设函数y=f(x),对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时f(x)<0,f(1)=-23求:(1)f(0)的值.
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数y=f(x),对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时f(x)<0,f(1)=- 求: (1)f(0)的值. (2)求证:f(x)为R上的奇函数. (3)求证:f(x)为R上的单调减函数. (4)f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. |
答案
(1)因为f(x+y)=f(x)+f(y) 令x=0 则f(0+y)=f(0)+f(y) 得f(0)=0 (2)因为f(x+y)=f(x)+f(y)且f(0)=0 所以f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0 又因为x是任意实数 所以f(x)为R上的奇函数 (3)令x>y 则f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(x-y) 因为x>y 所以x-y>0 所以f(x-y)=f(x)-f(y)<0 所以f(x)为R上的单调减函数 (4)由(3)知f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3) f(-3)=f(-1)+f(-2)=f(-1)+f(-1)+f(-1)=-f(1)-f(1)-f(1)=2 f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3) f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=-2. |
举一反三
已知函数f(x)=x3+sinx,x∈(-1,1),且f(x)在(-1,1)上是增函数,则不等式f(x-1)+f(x)≥0的解集为( )A.(-1,] | B.(0,] | C.[,1) | D.[,2) |
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函数 f(x)=x2+ax-4为偶函数,则实数a=______. |
设函数y=f(x)在区间D上是奇函数,函数y=g(x)在区间D上是偶函数,则函数H(x)=f(x)•g(x)在区间D上是( )A.偶函数 | B.奇函数 | C.既奇又偶函数 | D.非奇非偶函数 |
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已知函数f(x)=2x+. (Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性; (Ⅱ)证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数. |
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