已知函数f(x)=2x+12x.(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性;(Ⅱ)证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数.
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已知函数f(x)=2x+12x.(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性;(Ⅱ)证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
2
x
+
1
2
x
.
(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数.
答案
证明:(I)∵∀x∈R
∴-x∈R,
∵
f(-x)=
2
-x
+
1
2
-x
=
1
2
x
+
2
x
=f(x)
.
故f(x)为偶函数.
(II)设0<x
1
<x
2
,则
f(x
1
)-f(x
2
)=
2
x
1
+
1
2
x
1
-
2
x
2
-
1
2
x
2
=(
2
x
1
-
2
x
2
)(1-
1
2
x
1
+
x
2
)
∵0<x
1
<x
2
,
∴
2
x
1
-
2
x
2
<0,1-
1
2
x
1
+
x
2
>0
即f(x
1
)<f(x
2
)
∴函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数.
举一反三
已知偶函数f(x)的定义域为R,且在(-∞,0]上是增函数.
(Ⅰ)试比较
f(-
3
4
)
与f(a
2
-a+1)(a∈R)的大小;
(Ⅱ)若f(1)=0,求不等式f(x)<0的解集.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
f(x)=
|x+5|+|x-4|
16-
x
2
,那么f(x)的奇偶性是( )
A.奇函数
B.既不是奇函数也不是偶函数
C.偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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已知f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,那么使f(3)<f(a)的实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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以下函数为R上的偶函数的是( )
A.y=x
2
B.y=x
5
C.
y=x+
1
x
D.y=2
x
题型:单选题
难度:一般
|
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若偶函数f(x)在区间[1,3]上是增函数且最小值为5,则f(x)在区间[-3,-1]上是( )
A.增函数且最大值为-5
B.增函数且最小值为-5
C.减函数且最小值为5
D.减函数且最大值为5
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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