如果函数f（x）=13x3-x满足：对于任意的x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a2恒成立，则a的取值范围是（　　）A．[-63，63]B

题型：单选题难度：一般来源：不详

如果函数f（x）=

1

3

x3-x满足：对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a²恒成立，则a的取值范围是（　　）

A．[- 6 3 ， 6 3 ]	B．[- 2 3 3 ， 2 3 3 ]
C．（-∞，- 6 3 ]∪[ 6 3 ，+∞)	D．（-∞，- 2 3 3 ]∪[ 2 3 3 ，+∞）

答案

∵f′（x）=x²-1，
∴当0＜x＜1，f′（x）＜0，
当1＜x＜2，f′（x）＞0，
∴f（x）=

1

3

x3-x在x=1时取到极小值，也是x∈[0，2]上的最小值，即f（x）_极小值=f（1）=-

2

3

=f（x）_最小值，
又f（0）=0，f（2）=

2

3

，
∴在x∈[0，2]上，f（x）_最大值=f（2）=

2

3

，
∵对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a²恒成立，
∴只需a²≥|f（x）_最大值-f（x）_最小值|=

2

3

-（-

2

3

）=

4

3

，
∴a≥

2 3

3

或a≤-

2 3

3

．
故选D．