设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3．（1
题型：解答题难度：一般来源：不详
设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（3）是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f（x）=g（2-x）=-2ax+4x3；
当x∈（0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax-4x3，
∴f(x)= | | -2ax+4x3，-1≤x≤0 | | 2ax-4x3，0＜x≤1. |
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（2）由题设知，f"（x）＞0对x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x2＞0对x∈（0，1]恒成立，
于是，a＞6x2，
从而a＞（6x2）max=6．
（3）因为f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x3在x∈（0，1]的最大值．
令f"（x）=2a-12x2=0，
解得x=．
①若∈（0，1]，即0＜a≤6，
则[f(x)]max=f()=2a×-4()3＜2a×≤12，
故此时不存在符合题意的a；
②若＞1，即a＞6，
则f（x）在（0，1]上为增函数，
于是[f（x）]max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．
综上，存在a=8满足题设． |
举一反三
| 已知f（x）为偶函数，f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2x，若n∈N*，an=f（n），则a2011=（ ） |
如果函数f（x）=x3-x满足：对于任意的x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a2恒成立，则a的取值范围是（ ）| A．[-，] | B．[-，] | | C．（-∞，-]∪[，+∞) | D．（-∞，-]∪[，+∞） |
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下列函数中，图象关于y轴对称的是（ ）| A．y=log2x | B．y= | C．y=|x| | D．y=x-3 |
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设f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，则f（a2）与f（a2+1）（a∈R）的大小关系是（ ）| A．f（a2）＜f（a2+1） | B．f（a2）≥f（a2+1） | C．f（a2）＞f（a2+1） | D．f（a2）≤f（a2+1） |
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已知函数f（x）=（x≠0）
（1）求f（2），f()，f()
（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f()有什么关系吗？如果能，请求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（10）+f()+f()+…+f()的值． |
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