已知函数f(x)=|x+a|,g(x)=-|x-3|+1.(1)解关于x的不等式f(x)+g(x)>1;(2)若对∀x∈R,f(x)>g(x)恒成立,求a的取值
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=|x+a|,g(x)=-|x-3|+1. (1)解关于x的不等式f(x)+g(x)>1; (2)若对∀x∈R,f(x)>g(x)恒成立,求a的取值范围. |
答案
(1)不等式f(x)+g(x)>1,即|x+a|>|x-3|, 两边平方得:2(a+3)x>(3+a)(3-a) ∴当a=-3时,解集为∅ 当a>-3时,解集为(,+∞); 当a<-3时,解集为(-∞,) (2)若对任意x∈R,f(x)>g(x)恒成立,则|x+a|>-|x-3|+1对任意实数x恒成立,即|x+a|+|x-3|>1恒成立, ∵|x+a|+|x-3|≥|a+3| ∴|a+3|>1,解得a>-2或a<-4 |
举一反三
若函数f(x)满足∃m∈R,m≠0,对定义域内的任意x,f(x+m)=f(x)+f(m)恒成立,则称f(x)为m函数,现给出下列函数: ①y=; ②y=2x;③y=sinx;④y=1nx 其中为m函数的序号是______.(把你认为所有正确的序号都填上) |
若定义在D上的函数y=f(x)满足条件:存在实数a,b(a<b)且[a,b]⊊D,使得: ①任取x0∈[a,b],有f(x0)=C(C是常数); ②对于D内任意y0,当y0∉[a,b],总有f(y0)<C. 我们将满足上述两条件的函数f(x)称为“平顶型”函数,称C为“平顶高度”,称b-a为“平顶宽度”.根据上述定义,解决下列问题: (1)函数f(x)=-|x+2|-|x-3|是否为“平顶型”函数?若是,求出“平顶高度”和“平顶宽度”;若不是,简要说明理由. (2)已知f(x)=mx-,x∈[-2,+∞)是“平顶型”函数,求出m,n的值. (3)对于(2)中的函数f(x),若f(x)=kx在x∈[-2,+∞)上有两个不相等的根,求实数k的取值范围. |
已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在x=0,x=4处取得极值. (1)求常数k的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值; (3)设g(x)=f(x)+c,且∀x∈[-1,2],g(x)≥2c+1恒成立,求c的取值范围. |
若“∀x∈[2,+∞),x2-ax+2≥0”,则实数a的取值范围为______. |
已知函数f(x)=,若f(x)在R上连续,则a=______,此时(+)=______. |
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