已知f(x)对于任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0.(Ⅰ)求f(0)并判断f(x)的奇偶性;(Ⅱ)判断f(x)的单调性
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已知f(x)对于任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0.(Ⅰ)求f(0)并判断f(x)的奇偶性;(Ⅱ)判断f(x)的单调性
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)对于任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0.
(Ⅰ)求f(0)并判断f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明;
(Ⅲ)已知f(3)=12,集合A={(x,y)|f(x
2
)+f(y
2
)=4},集合B=
{ (x,y) | x+ay=
5
}
,若A∩B≠∅,求实数a的取值范围.
答案
(I)∵f(x+y)=f(x)+f(y)
∴令x=y=0 有f (0 )=0
再令y=-x 可得f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x)
∴f ( x )是定义在R上的奇函数.
(II)任取x
1
<x
2
,则x
2
-x
1
>0,故 f(x
2
-x
1
)>0
又∵f(x
2
-x
1
)=f(x
2
)+f(-x
1
)=f(x
2
)-f(x
1
)>0
∴函数满足f(x
2
)>f(x
1
),即f(x
1
)<f(x
2
)
∴函数f(x)为(-∞,+∞)单调增函数
(III)∵f(3)=12,∴f(1+1+1)=3f(1)=12,可得f(1)=4
∵A={(x,y)|f(x
2
)+f(y
2
)=4},集合B=
{ (x,y) | x+ay=
5
}
,若A∩B≠∅,
∴集合A表示的图形是单位圆:x
2
+y
2
=1,点P(x,y)在单位圆x
2
+y
2
=1上,
且单位圆x
2
+y
2
=1与直线
x+ay=
5
有至少一个公共点
∴
|
5
|
1+
a
2
≤1,解之得a≤-2或a≥2.
举一反三
设α∈
{-1,1,2,3
1
2
},则使f(x)=
x
a
为奇函数,且在(0,+∞)单调递增的a值的个数是( )
A.1
B.0
C.3
D.2
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
设a∈R,对于∀x>0,函数f(x)=(ax-1)[ln(x+1)-1]恒为非负数,则a的取值所组成的集合为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中,不正确的是( )
A.f(-x)+f(x)=0
B.f(-x)-f(x)=-2f(x)
C.f(x)•f(-x)≤0
D.
f(x)
f(-x)
=-1
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
下列说法正确的是( )
A.函数
f(x)=
x+1
•
x-1
为偶函数
B.函数
f(x)=
x
2
-1
为偶函数
C.函数f(x)=0(x≠1)为既奇又偶函数
D.函数
f(x)=
1-
x
2
|x-2|-2
是非奇非偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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对于定义在R上的任何奇函数,均有( )
A.f(x)•f(-x)≤0
B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)•f(-x)>0
D.f(x)-f(-x)>0
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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