设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），若f′（x）为奇函数，则有（ ）A．a≠0，c=0B．b=0C．a=0，c≠0D．a2+c2=0
题型：单选题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），若f′（x）为奇函数，则有（ ）| A．a≠0，c=0 | B．b=0 | C．a=0，c≠0 | D．a2+c2=0 |
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答案
函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵函数f′（x）=3ax2+2bx+c是定义在R上的奇函数，
∴f"（x）=-f"（-x），即3ax2+2bx+c=-3ax2+2bx-+c，
∴3ax2+c恒成立，a=c=0．即a2+c2=0．
故选D． |
举一反三
| 对于函数f（x）=acosx+bx2+c，其中a，b，c∈R，适当地选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果只可能是（ ） |
下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）| A．y=sinx | B．y=-x2 | C．y=xlg2 | D．y=（）x |
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| 设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（x）=f（4-x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，则函数f（x）的最小正周期为______，方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上有______个根． |
已知函数f（x）=（x≥0）．
（1）若f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若对任意非负实数a，b，c，以f（a），f（b），f（c）为三边都可构成三角形，求实数k的取值范围． |
下列函数中既是偶函数，又是区间[-1，0]上的减函数的是（ ）| A．y=cosx | B．y=-|x-1| | C．y=ln | D．y=|tanx| |
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