已知函数f(x)=sinx,g(x)=px-x36(I)若y=f(x)与y=g(x)在(0,0)处有相同的切线,求p的值(II)在(I)的条件下,求证:当x∈(

已知函数f(x)=sinx,g(x)=px-x36(I)若y=f(x)与y=g(x)在(0,0)处有相同的切线,求p的值(II)在(I)的条件下,求证:当x∈(

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=sinx,g(x)=px-
x3
6

(I)若y=f(x)与y=g(x)在(0,0)处有相同的切线,求p的值
(II)在(I)的条件下,求证:当x∈(0,1)时,f(x)>g(x)恒成立
(III)若x∈(0,1)时f(x)>g(x)恒成立,求p的取值范围.
答案
(I)∵f′(x)=cosx,f′(0)=1,
g(x)=p-
x2
2
,g′(0)=p,
y=f(x)与y=g(x)在(0,0)处有相同的切线,
∴p=1…(3分)
(II)设F(x)=f(x)-g(x),
当p=1时,F(x)=sinx-x+
x3
6

F(x)=cosx-1+
x2
2

F""(x)=-sinx+x,
当x∈(0,1)时,sinx<x,故F""(x)>0,
从而F′(x)在(0,1)上单调增,
所以,F′(x)>F′(0)=0,
∴F(x)在(0,1)上单调增,
∴F(x)>f(0)=0,即f(x)>g(x)恒成立.
(III)当x∈(0,1)时,
∵F""(x)=-sinx+x>0,
∴F(x)在(0,1)上单调增,从而F(x)在(0,1)内不可能出现先增后减的情况,
∵F(0)=0,
∴要使F(x)>0在(0,1)上恒成立,
必有F(x)在(0,1)上单调递增,
即F′(x)≥0在x∈(0,1)上恒成立,
∵F′(x)∈(1-p,cos1+
1
2
-p)

∴1-p≥0,
即p≤1.
举一反三
已知f(x)是奇函数,且f(2-x)=f(x),当x∈[2,3]时,f(x)=log2(x-1),则当x∈[1,2]时,f(x)=(  )
A.-log2(3-x)B.log2(4-x)C.-log2(4-x)D.log2(3-x)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=(|x|-1)(x+a)为奇函数,则f(x)的减区间为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在定义域上单调递增.当x∈[1-a,+∞)时,不等式f(x-2a)+f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=-
1
3
x3+ax2-2ax-2
(a为常数),且f(x)在[1,2]上单调递减.
(1)求实数a的取值范围;
(2)当a取得最大值时,关于x的方程f(x)=x2-7x-m有3个不同的根,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x|x|.当x∈[a,a+1]时,不等式f(x+2a)>4f(x)恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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