设函数f(x)=2|2x+2|-|x-1|.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)≥22a-2a-74恒成立,求a的取值范围.

设函数f(x)=2|2x+2|-|x-1|.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)≥22a-2a-74恒成立,求a的取值范围.

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=2|2x+2|-|x-1|.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若不等式f(x)≥22a-2a-
7
4
恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)f(x)=2|2x+2|-|x-1|=





2x+3     (x>1)
23x+1   (-1≤x≤1)
2-x-3    (x<-1)

故函数的单增区间是[-1,1],(1,+∞),
函数的减区间是(-∞,-1).
(2)由(1)知,f(x)的最小值是
1
4

f(x)≥22a-2a-
7
4
恒成立,
则须
1
4
22a-2a-
7
4
成立,
即22a-2a-2≤0,
∴-1≤2a≤2,且2a>0
解得,a≤1.
举一反三
(理)设f(x)是定义在D上的函数,若对任何实数α∈(0,1)以及x1、x2∈D恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)成立,则称f(x)为定义在D上的下凸函数.
(1)试判断函数g(x)=2x(x∈R),k(x)=
1
x
 (x<0)
是否为各自定义域上的下凸函数,并说明理由;
(2)若h(x)=px2(x∈R)是下凸函数,求实数p的取值范围;
(3)已知f(x)是R上的下凸函数,m是给定的正整数,设f(0)=0,f(m)=2m,记Sf=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(m),对于满足条件的任意函数f(x),试求Sf的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知奇函数f(x)的定义域是R,且f(x)=f(1-x),当0≤x≤
1
2
时,f(x)=x-x2
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的解析式;
(3)求函数f(x)的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若f(x)是偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是(  )
A.{x|0<x<2}B.{x|-2<x<0}C.{{x|-1<x<0}D.{x|1≤x<2}
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=lnx-
1
4
x+
3
4x
-1,g(x)=x2-2mx+4

(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对任意x1∈(0,2),总存在x2∈[1,2]使f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=10x,且实数a,b,c满足f(a)+f(b)=f(a+b),f(a)+f(b)+f(c)=f(a+b+c),则c的最大值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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