设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)=1,又f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)f(x2),(1)写出f
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设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)=1,又f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)f(x2),(1)写出f
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)=1,又f(x
1
-x
2
)=
f(
x
1
)-f(
x
2
)
1+f(
x
1
)f(
x
2
)
,
(1)写出f(x)的一个函数解析式,并说明其符合题设条件;
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(3)若存在正常数T,使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立,则都称f(x)是周期函数,T为周期;试问f(x)是不是周期函数?若是,则求出它的一个周期T;若不是,则说明理由.
答案
(1)取f(x)=tanx,定义域为{x|x≠kπ+
π
2
,k∈Z}关于原点对称,且0∈D;且存在常数
a=
π
4
使得
f(a)=tana=1;又由两角差的正切公式知,
f(
x
1
-
x
2
) =
f(
x
1
)-f(
x
2
)
1+f(
x
1
)f(
x
2
)
符合.…(4分)
(2)f(x)是D上的奇函数;
证明如下:f(0)=0,取x
1
=0,x
2
=x,由
f(
x
1
-
x
2
) =
f(
x
1
)-f(
x
2
)
1+f(
x
1
)f(
x
2
)
得f(-x)=-f(x),所以f(x)是D上的奇函数;…(4分)
(3)考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a,可猜测4a是f(x)的一个周期.
证明:由已知
f(x-a)=
f(x)-f(a)
1+f(x)f(a)
=
f(x)-1
1+f(x)
,则
f(x-2a)=f[(x-a)-a]=
f(x-a)-1
1+f(x-a)
=
[
f(x)-1
1+f(x)
-1 ] ÷[1+
f(x)-1
1+f(x)
] = -
1
f(x)
,
∴
f(x-4a)=f[(x-2a)-2a]=-
1
f(x-2a)
=f(x)
.
所以f(x)是周期函数,4a是f(x)的一个周期.…(7分)
举一反三
集合M
k
(k≥0)是满足下列条件的函数f(x)全体:如果对于任意的x
1
,x
2
∈(k,+∞),都有f(x
1
)+f(x
2
)>f(x
1
+x
2
).
(1)函数f(x)=x
2
是否为集合M
0
的元素,说明理由;
(2)求证:当0<a<1时,函数f(x)=a
x
是集合M
1
的元素;
(3)对数函数f(x)=lgx∈M
k
,求k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若存在实常数k和b,使函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x恒有:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x
2
,φ(x)=2elnx,则可推知h(x),φ(x)的“隔离直线”方程为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数y=a
x
(a>0且a≠1)在区间[-2,2]上的函数值恒小于2,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)的图象关于原点对称,且当x<0时,f(x)=2x-4,那么当x>0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知奇函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,实数a满足不等式f(1-a)+f(1-a
2
)<0,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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