若存在实常数k和b,使函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x恒有:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的
题型:填空题难度:一般来源:不详
若存在实常数k和b,使函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x恒有:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx,则可推知h(x),φ(x)的“隔离直线”方程为______. |
答案
令F(x)=h(x)-φ(x)=x2-2elnx(x>0),再令F′(X)=2x-=0,解得 x=. 从而函数h(x)和φ(x)的图象在x=处有公共点. 因此存在h(x)和φ(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k,则 隔离直线方程为y-e=k(x-),即y=kx-k +e. 由h(x)≥kx-k +e可得 x2-kx+k -e≥0当x∈R恒成立, 则△=k2-4k+4e=(k-2)2≤0,只有k=2 时,等号成立,此时直线方程为:y=2 x-e. 同理证明,由φ(x )≤kx-k +e,可得只有k=2 时,等号成立,此时直线方程为:y=2 x-e. 综上可得,函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线y=2 x-e. |
举一反三
已知函数y=ax(a>0且a≠1)在区间[-2,2]上的函数值恒小于2,则a的取值范围是______. |
已知函数f(x)的图象关于原点对称,且当x<0时,f(x)=2x-4,那么当x>0时,f(x)=______. |
已知奇函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,实数a满足不等式f(1-a)+f(1-a2)<0,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=sin2x-2cos2x+,x∈[,]. (1)求函数f(x)的最大值和最小值,并写出x为何值时取得最值; (2)若不等式|f(x)-a|<2,对一切x∈[,]恒成立,求实数a的取值范围. |
若(x0,y0)是函数f(x)=sinx图象的对称中心,则函数g(x)=f(x+x0)+y0的奇偶性为______. |
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