已知f(x)=loga1-mxx-1是奇函数(其中0<a<1)(1)求m值;(2)判断f(x)在(1,+∞)上单调性,并用定义加以证明.
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已知f(x)=loga1-mxx-1是奇函数(其中0<a<1)(1)求m值;(2)判断f(x)在(1,+∞)上单调性,并用定义加以证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知
f(x)=lo
g
a
1-mx
x-1
是奇函数(其中0<a<1)
(1)求m值;
(2)判断f(x)在(1,+∞)上单调性,并用定义加以证明.
答案
(1)由题意可得:f(-x)=-f(x),
所以
lo
g
a
1-mx
x-1
+lo
g
a
1+mx
-x-1
=0
对任意x∈D恒成立,
即(m
2
-1)x
2
=0恒成立,
所以m=±1,
当m=1时,函数无意义,故舍去,
∴m=-1;
(2)由(1)可得:
f(x)=lo
g
a
x+1
x-1
,并且f(x)在(1,+∞)上单调递增.
证明:设1<x
1
<x
2
,则
x
1
+1
x
1
-1
-
x
2
+1
x
2
-1
=
2(
x
2
-
x
1
)
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
∵1<x
1
<x
2
,
∴x
1
-1>0,x
2
-1>0,x
2
-x
1
>0,
∴
2(
x
2
-
x
1
)
(
x
1
-1)(
x
2
-1)
>0
,即
x
1
+1
x
1
-1
>
x
2
+1
x
2
-1
>0
,
又∵0<a<1,
∴
lo
g
a
x
1
+1
x
1
-1
<lo
g
a
x
2
+1
x
2
-1
,即f(x
1
)<f(x
2
)
∴函数
f(x)=lo
g
a
x+1
x-1
在(1,+∞)上单调递增.
举一反三
已知函数y=f(x)的图象与曲线C关于y轴对称,把曲线C向左平移1个单位后,得到函数y=log
2
(-x-a)的图象,且f(3)=1,则实数a=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)=1,又f(x
1
-x
2
)=
f(
x
1
)-f(
x
2
)
1+f(
x
1
)f(
x
2
)
,
(1)写出f(x)的一个函数解析式,并说明其符合题设条件;
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(3)若存在正常数T,使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立,则都称f(x)是周期函数,T为周期;试问f(x)是不是周期函数?若是,则求出它的一个周期T;若不是,则说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
集合M
k
(k≥0)是满足下列条件的函数f(x)全体:如果对于任意的x
1
,x
2
∈(k,+∞),都有f(x
1
)+f(x
2
)>f(x
1
+x
2
).
(1)函数f(x)=x
2
是否为集合M
0
的元素,说明理由;
(2)求证:当0<a<1时,函数f(x)=a
x
是集合M
1
的元素;
(3)对数函数f(x)=lgx∈M
k
,求k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
若存在实常数k和b,使函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x恒有:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x
2
,φ(x)=2elnx,则可推知h(x),φ(x)的“隔离直线”方程为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数y=a
x
(a>0且a≠1)在区间[-2,2]上的函数值恒小于2,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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