已知二次函数f(x)=ax2+x.对于∀x∈(0,1],|f(x)|≤1成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+x.对于∀x∈(0,1],|f(x)|≤1成立,求实数a的取值范围. |
答案
解法一:|f(x)|≤1⇔-1≤f(x)≤1⇔-1≤ax2+x≤1,x∈(0,1]=1 ① ①式等价于--≤a≤-在x∈(0,1]上恒成立. 设t=,则t∈[1,+∞),则有-t2-t≤a≤t2-t,所以只须,
| a≥(-t2-t)max=-2 | a≤(t2-t)min=0 |
| | ⇒-2≤a≤0,又a≠0, ∴-2≤a<0. 综上,所求实数a的取值范围是[-2,0). 解法二:由|f(x)|≤1得-1≤ax2+x≤1,x∈(0,1], (1)当a>0时,函数f(x)=ax2+x的图象开口方向向上,对称轴为x=-<0, 且经过原点(0,0),只需f(1)=a+1≤1,即a≤0,矛盾! (2)当a<0时,函数f(x)=ax2+x的图象开口方向向下,对称轴为x=->0, 且经过原点(0,0),f(1)=a+1<1, (i)当-<,即a<-1时,需满足f(x)max=f(-)=-≤1 及f(x)min=f(1)=a+1≥-1,即-2≤a≤-; (ii)当≤-≤1,即-1≤a≤-时,需满足f(x)max=f(-)=-≤1, 即a≤-, ∴-1≤a≤-; (iii)当-≥1,即-≤a<0,需满足f(x)max=f(1)=a+1≤1,这显然成立; 综上,实数a的取值范围是[-2,0). |
举一反三
已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m (1)解关于x的不等式f(x)-1<0; (2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围. |
已知F(x)=ax7+bx5+cx3+dx-6,F(-2)=10,则F(2)=______. |
不等式(a-4)x2-2(a-4)x+1>0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围. |
已知f(x)=loga是奇函数(其中0<a<1) (1)求m值; (2)判断f(x)在(1,+∞)上单调性,并用定义加以证明. |
已知函数y=f(x)的图象与曲线C关于y轴对称,把曲线C向左平移1个单位后,得到函数y=log2(-x-a)的图象,且f(3)=1,则实数a=______. |
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