已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：
（1）判断函数f（x）=1+x-x²（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数y=-x³（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若y=k+

x

(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围．

答案

（1）函数f（x）在区间(-∞，

1

2

]上单调递减，在(

1

2

，+∞)上单调递增；
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．
（2）先证y=-x³符合条件①：对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
有y1-y2=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+

1

2

x1)2+

3

4

x12]＞0，
∴y₁＞y₂，故y=-x³是R上的减函数．
又因为y=-x³在[-1，1]上的值域是[-1，1]．
所以函数y=-x³（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）易知y=k+

x

是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有

a=k+ a b=k+ b

；
故a，b是x=k+

x

的两个不等根，即方程组为：

x2-(2k+1)x+k2=0 x≥0 x≥k

有两个不等非负实根；
设x₁，x₂为方程x²-（2k+1）x+k²=0的二根，则

△=(2k+1)2-4k2＞0 x1+x2=2k+1＞0 x1x2=k2≥0 k＜0

，
解得：-

1

4

＜k＜0
∴k的取值范围(-

1

4

，0)．