已知函数f(x)=x2-x+alnx(1)当x≥1时,f(x)≤x2恒成立,求a的取值范围;(2)讨论f(x)在定义域上的单调性.

已知函数f(x)=x2-x+alnx(1)当x≥1时,f(x)≤x2恒成立,求a的取值范围;(2)讨论f(x)在定义域上的单调性.

题型:解答题难度:一般来源:杭州一模
已知函数f(x)=x2-x+alnx
(1)当x≥1时,f(x)≤x2恒成立,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)在定义域上的单调性.
答案
(1)由f(x)≤x2恒成立,得:alnx≤x在x≥1时恒成立
当x=1时a∈R(2分)
当x>1时即a≤
x
lnx
,令g(x)=
x
lnx
g′(x)=
lnx-1
ln2x
 
(4分)
x≥e时g"(x)≥0,g(x)在x>e时为增函数,g(x)在x<e时为减函数
∴gmin(x)=e∴a≤e(6分)
(2)f(x)=x2-x+alnx,f′(x)=2x-1+
a
x
=
2x2-x+a
x
,x>0
(1)当△=1-8a≤0,a≥
1
8
时,f′(x)≥0恒成立,
f(x)在(0,+∞)上为增函数.(8分)
(2)当a<
1
8

①当0<a<
1
8
时,
1+


1-8a
4
1-


1-8a
4
>0

f(x)在[
1-


1-8a
4
1+


1-8a
4
]
上为减函数,
f(x)在(0,
1-


1-8a
4
],[
1+


1-8a
4
,+∞)
上为增函数.(11分)
②当a=0时,f(x)在(0,1]上为减函数,f(x)在[1,+∞)上为增函数(12分)
③当a<0时,
1-


1-8a
4
<0
,故f(x)在(0,
1+


1-8a
4
]上为减函数,
f(x)在[
1+


1-8a
4
,+∞)上为增函数.(14分)
举一反三
如果函数f(x)对任意的实数x,存在常数 M,使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立,那么就称函数f(x)为有界泛函.给出下面三个函数:①f(x)=1;②f(x)=x2;③f(x)=
x
x2+x+1
.其中属于有界泛函的是(  )
A.①B.②C.③D.①②③
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x|x-a|(a∈R).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)解关于x的不等式:f(x)≥2a2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若f(x)为定义在R上的函数,且f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x),则f(x)为 (  )
A.奇函数且周期函数B.奇函数且非周期函数
C.偶函数且周期函数D.偶函数且非周期函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x+1)是奇函数,则函数f(x-1)的图象关于 ______对称.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
把能够将圆O:x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“圆梦函数”,则下列函数不是圆O的“圆梦函数”的是(  )
A.f(x)=x3B.f(x)=tan
x
2
C.f(x)=ln[(4-x)(4+x)]D.f(x)=(ex+e-x)x
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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