已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x-1.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对任意正实数x,不等式f(x)≥kg(x)恒成立,求实数k的值;(Ⅲ)求证
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x-1. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意正实数x,不等式f(x)≥kg(x)恒成立,求实数k的值; (Ⅲ)求证:2nlnn!≥(n-1)2(n∈N*).(其中n!=1×2×3×…×(n-1)×n) |
答案
(I)由题意可知:定义域:(0,+∞),f"(x)=lnx+1,令f"(x)=0,得x=,(1分) 则当x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;(2分) 当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增(4分) (II)令h(x)=xlnx-kx+k,则h′(x)=1+lnx-k, ∴h(x)在(0,ek-1)上是减函数,在(ek-1,+∞)上是增函数, ∴h(x)≥h(ek-1)=k-ek-1, 由题意k-ek-1≥0, 令t(k)=k-ek-1,则t′(k)=1-ek-1, ∴t(k)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, ∴t(k)≤t(1)=0, ∴k-ek-1≤0, ∴k-ek-1=0,∴k=1. (III)由(II)得,∀x>1,xlnx>x-1恒成立,∴lnx>=1-, 令x=k2(k∈N*,k≥2),则2lnk>1->1-=1-(-), 取k=2,3,…,n-1,n.并累加得:2lnn!>(n-1)-(1-)=, ∴2nlnn!>(n-1)2 又当n=1时,2nlnn!=(n-1)2 ∴2nlnn!≥(n-1)2(n∈N*). |
举一反三
已知函数f(x)=x•ex+ax2+bx在x=0和x=1时都取得极值. (Ⅰ)求a和b的值; (Ⅱ)若存在实数x∈[1,2],使不等式f(x)≤x2+(t-1)x成立,求实数t的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+2x,若f(cos2θ-2m)+f(2msinθ-2)<0对θ∈R恒成立,求实数m的取值范围. |
定义在R上的偶函数f(x)在x∈[1,2]上是增函数,且具有性质:f(x+1)=f(1-x),则该函数( )A.在[-1,0]上是增函数 | B.在[-1,-]上是增函数在[-,0]上是减函数 | C.在[-1,0]上是减函数 | D.在[-1,-]上是减函数在[-,0]上是增函数 |
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设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-xlg(1+x),那么当x<0时,f(x)的表达式是( )A.xlg(1-x) | B.xlg(1+x) | C.-xlg(1-x) | D.-xlg(1+x) |
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已知f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,x>0时,f(x)=1-, (1)求函数f(x)的解析式, (2)判断函数f(x)在(0,+∞)的单调性并用定义证明. |
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