已知函数f(x)=x(lnx+m),g(x)=a3x3+x.(1)当m=-2时,求f(x)的单调区间;(2)若m=32时,不等式g(x)≥f(x)恒成立,求实数
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已知函数f(x)=x(lnx+m),g(x)=a3x3+x.(1)当m=-2时,求f(x)的单调区间;(2)若m=32时,不等式g(x)≥f(x)恒成立,求实数
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=x(lnx+m),
g(x)=
a
3
x
3
+x
.
(1)当m=-2时,求f(x)的单调区间;
(2)若
m=
3
2
时,不等式g(x)≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)当m=-2时,f(x)=x(ln x-2)=xln x-2x,
定义域为(0,+∞),且f′(x)=ln x-1.…(2分)
由f′(x)>0,得ln x-1>0,所以x>e.由f′(x)<0,得ln x-1<0,所以0<x<e.
故f(x)的单调递增区间是(e,+∞),递减区间是(0,e).…(5分)
(2)由于
m=
3
2
,可得f(x)=x(ln x+
3
2
)(x>0),
不等式g(x)≥f(x)即
a
3
x
3
+x≥x(ln x+
3
2
)
恒成立.
由于x>0,则
a
3
x
2
+1≥ln x+
3
2
,亦即
a
3
x
2
≥ln x+
1
2
,所以
a≥
3(lnx+
1
2
)
x
2
.
令
h(x)=
3(lnx+
1
2
)
x
2
,则
h′(x)=
-6lnx
x
3
,
由h′(x)=0得x=1,且当0<x<1时,h′(x)>0;当x>1时,h′(x)<0,
即h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.…(10分)
所以h(x)在x=1处取得极大值h(1)=
3
2
,也是h(x)在定义域上的最大值.
因此要使
a≥
3(lnx+
1
2
)
x
2
恒成立,需有a≥
3
2
,故a的取值范围为
[
3
2
,+∞)
.…(12分)
举一反三
已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<e
x
的解集为( )
A.(-2,+∞)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2
x
,则f(-3)的值是( )
A.
1
8
B.
-
1
8
C.8
D.-8
题型:单选题
难度:一般
|
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已知f(x)=xlnx,g(x)=-x
2
+ax-3.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)(x∈R)是以3为周期的奇函数,且f(1)>1,f(2)=a,则a的范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且f(x)=-f(x+2),当0≤x≤2时,
f(x)=
x
2
,若已知n∈Z,则使
f(x)=-
1
2
成立的x的值为( )
A.2n
B.2n-1
C.4n+1
D.4n-1
题型:单选题
难度:一般
|
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