已知函数f(x)=-13x3+x2+ax+b(a,b∈R).(Ⅰ)若a=3,试确定函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在其图象上任意一点(x0,f(x0
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已知函数f(x)=-13x3+x2+ax+b(a,b∈R).(Ⅰ)若a=3,试确定函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在其图象上任意一点(x0,f(x0
题型:解答题
难度:一般
来源:西城区二模
已知函数
f(x)=-
1
3
x
3
+
x
2
+ax+b(a,b∈
R).
(Ⅰ)若a=3,试确定函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在其图象上任意一点(x
0
,f(x
0
))处切线的斜率都小于2a
2
,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)当a=3时,
f(x)=-
1
3
x
3
+
x
2
+3x+b
,所以f
/
(x)=-x
2
+2x+3,
由f"(x)>0,解得-1<x<3,由f"(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调增区间为(-1,3),减区间为(-∞,-1)和(3,+∞).
(Ⅱ)因为f"(x)=-x
2
+2x+a,
由题意得:f"(x)=-x
2
+2x+a<2a
2
对任意x∈R恒成立,
即-x
2
+2x<2a
2
-a对任意x∈R恒成立,
设g(x)=-x
2
+2x,所以g(x)=-x
2
+2x=-(x-1)
2
+1,
所以当x=1时,g(x)有最大值为1,
因为对任意x∈R,-x
2
+2x<2a
2
-a恒成立,
所以2a
2
-a>1,解得a>1或
a<-
1
2
,
所以,实数a的取值范围为{a|a>1或
a<-
1
2
}
.
举一反三
函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x
3
-2
x
,则当x∈(-∞,0)时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果f(ax+1)≤f(x-2)在
x∈[
1
2
,1]
上恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-2,1]
B.[-5,0]
C.[-5,1]
D.[-2,0]
题型:单选题
难度:一般
|
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已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f (x)=
2
x
-2
x
1
2
,又a是函数g (x)=
ln(x+1)-
2
x
的正零点,则f(-2),f(a),f(1.5)的大上关系是( )
A.f(1.5)<f(a)<f(-2)
B.f(-2)<f(1.5)<f(a)
C.f(a)<f(1.5)<f(-2)
D.f(1.5)<f(-2)<f(a)
题型:单选题
难度:简单
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x,y∈(0,2],且xy=2,且6-2x-y≥a(2-x)(4-y)恒成立,则实数a取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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