已知函数f(x)=ax+bx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(I)用a表示出b,c;(II)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上
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已知函数f(x)=ax+bx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(I)用a表示出b,c;(II)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上
题型:解答题
难度:一般
来源:湖北
已知函数f(x)=ax+
b
x
+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.
(I)用a表示出b,c;
(II)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
答案
y(Ⅰ)
f′(x)=a-
b
x
2
,
则有
f(l)=a+b+c=0
f′(l)=a-b=1
,
解得
b=a-1
c=l-2a
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
f(x)=ax+
a-1
x
+1-2a
,
令g(x)=f(x)-lnx=ax+
a-1
x
+1-2a-lnx,x∈[1,+∞)
则g(l)=0,
g′(x)=a-
a-1
x
2
-
1
x
=
a
x
2
-x-(a-1)
x
2
=
a(x-1)(x-
1-a
a
)
x
2
(i)当
o<a<
1
2
,
1-a
a
>1
若
1<x<
1-a
a
,则g′(x)<0,g(x)是减函数,
所以g(x)<g(l)=0,f(x)>lnx,故f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒不成立.
(ii)
a≥
1
2
时,
1-a
a
≤l
若f(x)>lnx,故当x≥1时,f(x)≥lnx
综上所述,所求a的取值范围为
[
1
2
,+∞)
举一反三
已知非零向量
a
、
b
,满足
a
⊥
b
,则函数
f(x)=(
a
x+
b
)
2
(x∈R)是( )
A.既是奇函数又是偶函数
B.非奇非偶函数
C.奇函数
D.偶函数
题型:单选题
难度:一般
|
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设f(x)=ax
3
+bx
2
+cx的极小值为-8,其导函数y=f′(x)的图象开口向下且经过点
(-2,0),(
2
3
,0)
.
(I)求f(x)的解析式;
(II)方程f(x)+p=0有唯一实数解,求实数P的取值范围.
(II)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m
2
-14m恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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2
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丙:函数f(x)关于直线x=4对称;
丁:若m∈(0,1),则关于x的方程f(x)-m=0在[-8,8]上所有根之和为-8.
其中正确的是( )
A.甲,乙,丁
B.乙,丙
C.甲,乙,丙
D.甲,丁
题型:单选题
难度:一般
|
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若函数
f(x)=
x
2
-9
x-3
(x≠3)
a(x=3)
在x=3处连续,则a=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=-
1
3
x
3
+
x
2
+ax+b(a,b∈
R).
(Ⅰ)若a=3,试确定函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在其图象上任意一点(x
0
,f(x
0
))处切线的斜率都小于2a
2
,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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