设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象开口向下且经过点(-2，0)，(23，0)．（I）求f（x）的解析式；（II）方程f

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象开口向下且经过点(-2，0)，(

2

3

，0)．
（I）求f（x）的解析式；
（II）方程f（x）+p=0有唯一实数解，求实数P的取值范围．
（II）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵f"（x）=3ax²+2bx+c，且y=f"（x）的图象经过点（-2，0），（

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，0），
∴

-2+ 2 3 =- 2b 3a -2• 2 3 = c 3a

 
解得

b=2a c=-4a

∴f（x）=ax³+2ax²-4ax，
∵y=f"（x）的图象开口向下
∴当x∈（-∞，-2）∪（

2

3

，+∞）时，f"（x）＜0
当x∈（-2，

2

3

）时，f"（x）＞0
∴函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，

2

3

）上单调递增，在（

2

3

，+∞）上单调递减，
由f（x）_极小值=f（-2）=a（-2）³+2a（-2）²-4a（-2）=-8，
解得a=-1
∴f（x）=-x³-2x²+4x
（2）由（1）得
当x=-2时，f（x）的极小值为-8，
当x=

2

3

时，f（x）的极大值为

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，
若方程f（x）+p=0有唯一实数解，
则函数f（x）的图象与直线y=-p有且只有一个交点
则p＜-

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27

，或p＞8
（3）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f（x）_min≥m²-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，2）上单调递减，在（-2，

2

3

）上单调递增，在（

2

3

，3]上单调递减
且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8
∴f（x）_min=f（3）=-33（11分）-33≥m²-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．