已知函数y=f(x),x∈N*,任取m,n∈N*,均有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2成立,且f(1)=1,若p2-tp≤f(x)对任意的p∈
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知函数y=f(x),x∈N*,任取m,n∈N*,均有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2成立,且f(1)=1,若p2-tp≤f(x)对任意的p∈[2,3],x∈[3,+∞)恒成立,则t的最小值为______. |
答案
由f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2 则f(n)=f(n-1+1) =f(n-1)+f(1)+4n-2 =f(n-1)+4n-1 =f(n-2)+4(n-1)-1+4n-1 =f(1)+4×1+4×2+…+4(n-1)+4n-(n-1) =1+-n+12n2-3n+2 =2n2-3n+2 则f(x)=2x2-3x+2,(x∈N+) 令g(p)=p2-tp则只需g(p)max≤f(x)min, 即可满足p2-tp≤f(x)对任意的p∈[2,3],x∈[3,+∞)恒成立, 则f(x)的对称轴为x=,x∈[3,+∞) 则f(x)在[3,+∞)上是增函数,∴f(x)min=f(3)=11, 而g(p)的对称轴p=,p∈[2,3], 若≤,即t≤5,g(p)在p=3处取得最大值,g(p)max=g(3)=9-3t, 可得9-3t≤11解得t≥-,综上-≤t≤5; 若>,即t>5,g(p)在p=2处取得最大值,g(p)max=g(2)=4-2t, 可得4-2t≤11,解得t≥-,综上t>5, 综上可得t≥-;t的最小值为-, 故答案为-; |
举一反三
若x>0,y>0,且+≤a恒成立,则a的最小值是______. |
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(xy)=f(x)f(y)(x,y∈R),且当x≠0时,f(x)≠0. (Ⅰ)求证:f(0)=0; (Ⅱ)证明:f(x)是偶函数,并求f(x)的表达式; (III) 若f(x)+a>ax对任意x∈(1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=(a-)x2-lnx(a∈R) (I)当a=l时,求f(x)在(0,e]上八最小值; (Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)<2ax恒成立,求实数a八取值范围. |
函数f(x)在(-∞,+∞)上是奇函数,当x∈(-∞,0]时,f(x)=2x(x-1),则f(x)=______. |
若α、β∈[-,],且αsinα-βsinβ>0,则下面结论正确的是( ) |
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