定义在R上的函数f（x）＞0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x） f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．（1）求f（0）的值；（2）求证f（x）在R
题型：解答题难度：一般来源：不详
定义在R上的函数f（x）＞0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x） f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证f（x）在R上是增函数；
（3）若f（k•3x）f（3x-9x-2）＜1对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． |
答案
（1）令x=0，y=1，则f（0+1）=f（0）f（1），
∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（1）＞1，∴f（0）=1；
（2）证明：设x1＜x2，则x2-x1＞0
∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2-x1）＞1
∴f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）f（x1）＞f（x1）
∴f（x）在R上是增函数；
（3）∵f（x）在R上是增函数，f（k•3x） f（3x-9x-2）=f（k 3x+3x-9x-2）＜f（0），
∴32x-（1+k）•3x+2＞0对任意x∈R成立．
∴1+k＜3x+
∵3x＞0，∴3x+≥2
∴k＜2-1． |
举一反三
| 已知函数y=f（x），x∈N*，任取m，n∈N*，均有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2成立，且f（1）=1，若p2-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，则t的最小值为______． |
| 若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是______． |
定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），且当x≠0时，f（x）≠0．
（Ⅰ）求证：f（0）=0；
（Ⅱ）证明：f（x）是偶函数，并求f（x）的表达式；
（III） 若f（x）+a＞ax对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围． |
已知函数f(x)=(a-)x2-lnx(a∈R)
（I）当a=l时，求f（x）在（0，e]上八最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）＜2ax恒成立，求实数a八取值范围． |
最新试题
热门考点