已知函数f(x)=12x+1+m,m∈R.(1)若m=-12,求证:函数f(x)是R上的奇函数;(2)若函数f(x)在区间(1,2)没有零点,求实数m的取值范围
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已知函数f(x)=12x+1+m,m∈R.(1)若m=-12,求证:函数f(x)是R上的奇函数;(2)若函数f(x)在区间(1,2)没有零点,求实数m的取值范围
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
1
2
x
+1
+m
,m∈R.
(1)若
m=-
1
2
,求证:函数f(x)是R上的奇函数;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)没有零点,求实数m的取值范围.
答案
(1 )定义域为R关于原点对称.因为
f(x)+f(-x)=
1
2
x
+1
-
1
2
+
1
2
-x
+1
-
1
2
=
1
2
x
+1
-
1
2
+
2
x
2
x
+1
-
1
2
=0,
所以函数f(x)是定义在R上的奇函数.
(2)f"(x)=-
2
x
ln2
(1+
2
x
)
2
<0,
∴f(x)是实数集R上的单调递减函数(不说明单调性扣2分)
又函数f(x)的图象不间断,在区间(1,2)恰有一个零点,有f(1)f(2)<0
即(m+
1
3
)(m+
1
5
)<0解之得-
1
3
<m<-
1
5
,故函数
f(x)在区间(1,2)没有零点时,实数m的取值范围是m≥-
1
5
或m≤-
1
3
…(14分)
举一反三
定义在R上的函数y=f(x)既是奇函数又是减函数,若s,t满足不等式f(s
2
-2s)+f(2t-t
2
)<0.则当1≤s≤4时,
t
s
的取值范围是( )
A.[-
1
4
,1
]
B.(
-
1
4
,1
)
C.[
-
1
2
,1
]
D.(
-
1
2
,1
)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,若f(3)<f(1),则下列各式中一定成立的是( )
A.f(1)<f(0)
B.f(-1)>f(-3)
C.f(-2)<f(3)
D.f(-3)>f(5)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
f(x)=
1
2
x
-1
+
1
2
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断的奇偶性并予以证明.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知定义在R上的函数f(x)是周期函数,且满足f(x-a)=-f(x)(a>0),函数f(x)的最小正周期为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
a•
3
x
+a-2
3
x
+1
.(a∈R)
(1)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?证明你的结论;
(2)用单调性定义证明:不论a取任何实数,函数f(x)在其定义域上都是增函数;
(3)若函数f(x)为奇函数,解不等式f(3m
2
-m+1)+f(2m-3)<0.
题型:解答题
难度:一般
|
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