已知函数 f(x)=4x+k•2x+14x+2x+1.若对任意的实数x1,x2,x3,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立,则实数k的取值范围是___

已知函数 f(x)=4x+k•2x+14x+2x+1.若对任意的实数x1,x2,x3,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立,则实数k的取值范围是___

题型:填空题难度:简单来源:不详
已知函数 f(x)=
4x+k•2x+1
4x+2x+1
.若对任意的实数x1,x2,x3,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立,则实数k的取值范围是______.
答案
∵函数 f(x)=
4x+k•2x+1
4x+2x+1
=
2x+k+
1
2x
2x+1+
1
2x

令t=2x+1+
1
2x
,(t≥3)
则f(x)=y=1+
k-1
t

若k-1<0,即k<1,函数y=1+
k-1
t
在[3,+∞)上为增函数
此时的函数f(x)=y值域为[1+
k-1
3
,1)
若不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立
则2(1+
k-1
3
)≥1,就可以满足条件
解得-
1
2
≤k
<1
若k-1=0,即k=1,
f(x)=1,不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)显然成立
若k-1>0,即k>1
函数y=1+
k-1
t
在[3,+∞)上为减函数
此时的函数f(x)=y值域为(1,1+
k-1
3
]
若不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立
则1+1≥1+
k-1
3

解得1<k≤4
综上所述:-
1
2
≤k
≤4
故答案为:-
1
2
≤k
≤4
举一反三
设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b,为实数),F(x)=





f(x)(x>0)
-f(x)(x<0)

(1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x≥0)成立,求F(x)表达式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-3,3]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.
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已知点P(cos2x+1,1),点Q(1,


3
sin2x+1)
(x∈R),且函数f(x)=
.
OP
.
OQ

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的最小正周期及最值.
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已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)在区间[-1,1]上的最小值是4.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=x+5-f(x),若对任意的x∈(-∞,-
3
4
]
g(
x
m
)-g(x-1)≤4[m2g(x)+g(m)]
均成立,求实数m的取值范围.
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已知函数y=f(x)是奇函数,在(0,+∞)内是减函数,且f(x)<0,试问:F(x)=
1
f(x)
在(-∞,0)内单调性如何?并证明之
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(1)已知幂函数y=xm-2(x∈N)的图象与x,y轴都无交点,且关于y轴对称,求函数解析式.
(2)已知函数y=
415-2x-x2

.求函数的单调区间和奇偶性.
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