已知函数f(x)=ax4+bx2+cx+1(a,b,c∈R),在x=-1处取得极值-14,在x=-2处的切线与直线x-8y=0垂直.(1)求常数a,b,c的值;
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已知函数f(x)=ax4+bx2+cx+1(a,b,c∈R),在x=-1处取得极值-14,在x=-2处的切线与直线x-8y=0垂直.(1)求常数a,b,c的值;
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=ax
4
+bx
2
+cx+1(a,b,c∈R),在x=-1处取得极值
-
1
4
,在x=-2处的切线与直线x-8y=0垂直.
(1)求常数a,b,c的值;
(2)对于函数h(x)和g(x),若存在常数k,m,对于任意x∈R,不等式h(x)≥kx+m≥g(x)都成立,则称直线y=kx+m是函数h(x),g(x)的分界线,求函数f(x)与函数g(x)=-x
2
+2x+1的“分界线”方程.
答案
(1)f"(x)=4ax
3
+2bx+c,
由条件得到:
-4a-2b+c=0
a+b-c+1=-
1
4
-32a-4b+c=-8
,
得到:
a=
1
4
b=
1
2
c=2
(6分)
(2)依题意
1
4
x
4
+
1
2
x
2
+2x+1≥kx+m≥-
x
2
+2x+1
恒成立,
令x=0,则1≥m≥1,所以m=1,(8分)
因此:kx+1≥-x
2
+2x+1恒成立,即x
2
+(k-2)x≥0恒成立,
由△≤0得到:k=2,(10分)
又因为:
f(x)-(2x+1)=
1
4
x
4
+
1
2
x
2
≥0
,所以f(x)≥2x+1恒成立,
所以:函数f(x)与函数g(x)=-x
2
+2x+1的分界线方程是y=2x+1.(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x
2
-2(a+1)x+a
2
+1,x∈R.
(1)若a=2,解不等式f(x)<0;
(2)若a∈R,解关于x的不等式f(x)<0;
(3)若x∈[0,2]时,f(x)≥a
2
(1-x)恒成立.求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
,h(x)=x,则f(x),h(x)的奇偶性依次为( )
A.偶函数,奇函数
B.奇函数,偶函数
C.偶函数,偶函数
D.奇函数,奇函数
题型:单选题
难度:简单
|
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若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0]时,f(x)=-xlg(3-x),那么f(1)的值为( )
A.0
B.lg3
C.-lg3
D.-lg4
题型:单选题
难度:一般
|
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已知a为参数,函数
f(x)=(x+a)
3
x-2+
a
2
-(x-a)
3
8-x-3a
是偶函数.则a可取值的集合是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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