函数f（x）=x3+（m-4）x2-3mx+（n-6）的图象关于原点对称．（1）求m，n的值；（2）证明：函数f（x）在[-2，2]上是减函数； 注：a3
题型：解答题难度：一般来源：不详
函数f（x）=x3+（m-4）x2-3mx+（n-6）的图象关于原点对称．
（1）求m，n的值；
（2）证明：函数f（x）在[-2，2]上是减函数； 注：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
（3）x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥（n-logma）•logma恒成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）由函数f（x）的图象关于原点对称可知函数为奇函数
∴f（0）=0，n=6
f（-x）=-f（x）对任意的x都成立可得f（-1）=-f（1）
∴m=4
（2）由（1）可得f（x）=x3-12x
（法一）设-2≤x1＜x2≤2
则f（x1）-f（x2）=x13-12x1-x23+12x2
=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）-12（x1-x2）
=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-12）
∵-2≤x1＜x2≤2
∴x1-x2＜0，x12+x1x2+x22-12＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
（法二）：∵f′（x）=3x2-12=3（x2-4）≤0
∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
（3）由（2）可知函数f（x）在[-2，2]上单调递减
∴f（x）min=f（2）=-16，f（x）max=f（-2）=16
∵x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥（n-logma）•logma恒成立，
：（1）由函数f（x）的图象关于原点对称可知函数为奇函数
∴f（0）=0，n=6
f（-x）=-f（x）对任意的x都成立可得f（-1）=-f（1）
∴m=4
（2）由（1）可得f（x）=x3-12x
（法一）设-2≤x1＜x2≤2
则f（x1）-f（x2）=x13-12x1-x23+12x2
=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）-12（x1-x2）
=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-12）
∵-2≤x1＜x2≤2
∴x1-x2＜0，x12+x1x2+x22-12＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
（法二）：∵f′（x）=3x2-12=3（x2-4）≤0
∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
（3）由（2）可知函数f（x）在[-2，2]上单调递减
∴f（x）min=f（2）=-16，f（x）max=f（-2）=16
∵x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥（n-logma）•logma恒成立，
∴-16≥（6-log4a）•loga4
∴loga4≥8或loga4≤-2
∴1＜a＜或≤a＜1 |
举一反三
| 奇函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）x∈[0，1）时，f（x）=x3，则f（25.5）=______． |
| 设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞，0）上有2xf′（2x）+f（2x）＜0且f（-2）=0，则不等式xf（2x）＜0的解集为______． |
| 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x-3）＜f（-1）的x的集合是______． |
| 设a是实数．若函数f（x）=|x+a|-|x-1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则函数f（x）的递增区间为______． |
已知奇函数f（x），偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax（a＞0且a≠1）．
（1）求证：f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）设f（x）的反函数f-1(x)，当a= |