记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,则称以(x0,x0)为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点.(1)若函数f(x)=3x+ax
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记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,则称以(x0,x0)为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点.(1)若函数f(x)=3x+ax
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
记函数f(x)的定义域为D,若存在x
0
∈D,使f(x
0
)=x
0
成立,则称以(x
0
,x
0
)为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点.
(1)若函数
f(x)=
3x+a
x+b
图象上有两个关于原点对称的不动点,求实数a,b应满足的条件;
(2)设点P(x,y)到直线y=x的距离
d=
|x-y|
2
.在(1)的条件下,若a=8,记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A
1
,A
2
,P为函数f(x)图象上的另一点,其纵坐标y
P
>3,求点P到直线A
1
A
2
距离的最小值及取得最小值时点P的坐标.
(3)下述命题“若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点有奇数个”是否正确?若正确,请给予证明;若不正确,请举一反例.若地方不够,可答在试卷的反面.
答案
(1)函数
f(x)=
3x+a
x+b
图象上有两个关于原点对称的不动点,
∴f(x)=x有两个互为相反的根
即x
2
+(b-3)x-a=0有两个互为相反的根
∴
b-3=0
-a<0
∴b=3,a>0
(2)若a=8,b=3则可得f(x)=
3x+8
x+3
=x
∴
x=±2
2
即
A
1
(2
2
,2
2
)
,
A
2
(-2
2
,-2
2
)
∴A
1
A
2
所在 的直线方程为x-y=0
设P(x,y)则由y=
3x+8
x+3
>3可得x<-3
点P到直线A
1
A
2
的距离d=
|x-y|
2
=
|
x
2
-8
x+3
|
×
1
2
=
|x+3+
1
x+3
-6|
2
(x<-3)
=
1
2
[
-(x+3)+
1
-(x+3)
+6
]
≥
2
-(x+3)•
-1
x+3
+6
2
=4
2
d
min
=4
2
,此时x+3=
1
x+3
即x=-4,P(-4,4)
(3)令g(x)=f(x)-x则由f(x)为奇函数可得g(x)为奇函数
由奇函数的性质可得g(0)=0
当x≠0时,若g(x)=0,则g(-x)=-g(x)=0
∴g(x)=0的零点有奇数个即f(x)=x的根有奇数个
若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点,则不动点有奇数个为真命题
举一反三
下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x)=2
x
B.
f(x)=
x
1
2
C.f(x)=lg(-x)
D.f(x)=sin2x
题型:单选题
难度:一般
|
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函数
F(x)=
1
x
+x
在其定义域上是 ______函数(选填“奇”或“偶”).
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)满足
f(x)=ln
1+x
1-x
,
(1)求f(x)的定义域;判断f(x)的奇偶性及单调性并给予证明;
(2)对于函数f(x),当x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m
2
)<0.求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
-2cosx,对于
[-
2π
3
,
2π
3
]
上的任意x
1
,x
2
有如下条件:①x
1
>x
2
;②x
1
2
>x
2
2
;③x
1
>|x
2
|,
其中能使f(x
1
)>f(x
2
)恒成立的条件是______ (填写序号)
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)=x
3
+(m-4)x
2
-3mx+(n-6)的图象关于原点对称.
(1)求m,n的值;
(2)证明:函数f(x)在[-2,2]上是减函数; 注:a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)
(3)x∈[-2,2]时,不等式f(x)≥(n-log
m
a)•log
m
a恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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