已知f（x）=log(4x+1)4+kx是偶函数，其中x∈R，且k为常数．（1）求k的值；（2）记g（x）=4f（x）求x∈[0，2]时，函数个g（x）的最大值

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=

log

(4x+1)4

+kx是偶函数，其中x∈R，且k为常数．
（1）求k的值；
（2）记g（x）=4^f（x）求x∈[0，2]时，函数个g（x）的最大值．

答案

（1）由函数f（x）=

log

(4x+1)4

+kx是偶函数，
可知f（-x）=f（x），
即

log

(4x+1)4

+kx=

log

(4-x+1)4

-kx
即

log

4x+1

4-x+1

=-2kx∴

log

4x4

=-2kx，
即x=-2kx对x∈恒成立，
∴k=-

（2）g（x）=

4x+1

=2x+

∵x∈[0，2]，∴1≤2^x≤4
∴g（x）在区间[0，2]上单调递增
∴g（x）_max=

举一反三

记函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，x₀）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f(x)=

3x+a

x+b

图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
（2）设点P（x，y）到直线y=x的距离d=

|x-y|

．在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A₁，A₂，P为函数f（x）图象上的另一点，其纵坐标y_P＞3，求点P到直线A₁A₂距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．若地方不够，可答在试卷的反面．

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下列函数中为奇函数的是（　　）

A．f（x）=2^x

B．f(x)=x

C．f（x）=lg（-x）

D．f（x）=sin2x

题型：单选题难度：一般| 查看答案

函数F(x)=

+x在其定义域上是 ______函数（选填“奇”或“偶”）．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）满足f(x)=ln

1+x

1-x

，
（1）求f（x）的定义域；判断f（x）的奇偶性及单调性并给予证明；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0．求实数m的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=x²-2cosx，对于[-

2π

，

2π

]上的任意x₁，x₂有如下条件：①x₁＞x₂；②x₁²＞x₂²；③x₁＞|x₂|，
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件是______ （填写序号）

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