定义在实数集R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）试判断并证明f（x）在（-∞，0）上的单调性；（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范
题型：解答题难度：一般来源：不详
定义在实数集R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数．
（1）试判断并证明f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范围． |
答案
（1）f（x）在（-∞，0）是单调减函数（2分）
设x1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0，
∵f（x）在（0，+∞）是单调增函数
∴f（-x1）＞f（-x2），
又∵f（x）是偶函数，
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（-∞，0）是单调减函数（8分）
（2）由f（x）是偶函数，
f（1）＜f（|lgx|）又f（x）是（0，+∞）上的单调增函数
∴|lgx|＞1；（11分）
∴lgx＞1或lgx＜-1
∴x＞10或0＜x＜为所求x的取值范围．（14分） |
举一反三
下列函数中既是奇函数，又在区间（-1，1）上是增函数的为（ ）| A．y=|x| | B．y=sinx | C．y=ex+e-x | D．y=-x3 |
|
| 对于任意实数a，关于x的方程log2[2x2+（m+3）x+2m]=a总有实数解，则实数m的取值范围是______． |
已知函数f（x）=lg（2+x），g（x）=lg（2-x），设h（x）=f（x）+g（x）
（1）求函数h（x）的定义域．
（2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由． |
已知f（x）=+kx是偶函数，其中x∈R，且k为常数．
（1）求k的值；
（2）记g（x）=4f（x）求x∈[0，2]时，函数个g（x）的最大值． |
记函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，则称以（x0，x0）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f(x)=图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
（2）设点P（x，y）到直线y=x的距离d=．在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A1，A2，P为函数f（x）图象上的另一点，其纵坐标yP＞3，求点P到直线A1A2距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．若地方不够，可答在试卷的反面． |
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