设a,b是实数,函数f(x)=12x+b-a是R上的奇函数.(Ⅰ)求实数a,b的值;(Ⅱ)试判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并请你用函数的单调性给予证明
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设a,b是实数,函数f(x)=12x+b-a是R上的奇函数.(Ⅰ)求实数a,b的值;(Ⅱ)试判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并请你用函数的单调性给予证明
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设a,b是实数,函数
f(x)=
1
2
x
+b
-a
是R上的奇函数.
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)试判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并请你用函数的单调性给予证明;
(Ⅲ)不等式f(m-2)+f(2
x+1
+4
x
)<0对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)因为f(x)为奇函数,
所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),即
1
1+b
-a=0①,
1
2
-1
+b
-a
=-(
1
2+b
-a)②,
联立①②解得
a=
1
2
b=1
,经检验,符合题意,
所以实数a=
1
2
,b=1;
(Ⅱ)f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,证明如下:
由(Ⅰ)知f(x)=
1
2
x
+1
-
1
2
,
设x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=(
1
2
x
1
+1
-
1
2
)-(
1
2
x
2
+1
-
1
2
)=
2
x
2
-
2
x
1
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
,
因为x
1
<x
2
,所以
2
x
2
-
2
x
1
>0,
所以f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
),
所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;
(Ⅲ)因为f(x)为奇函数,所以f(m-2)+f(2
x+1
+4
x
)<0可化为f(2
x+1
+4
x
)<-f(m-2)=f(2-m),
又f(x)单调递减,所以2
x+1
+4
x
>2-m,
由题意,只需(2
x+1
+4
x
)
min
>2-m,
而2
x+1
+4
x
=(2
x
+1)
2
-1>0,
所以2-m≤0,即m≥2,
实数m的范围为m≥2.
举一反三
有下列命题:①偶函数的图象一定与y轴相交;
②奇函数的图象一定经过原点;
③定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)=0;
④当且仅当f(0)=0(定义域关于原点对称)时,f(x)既是奇函数又是偶函数.
其中正确的命题有 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=e
x
-1(其中e为自然对数的底数),则f(ln
1
2
)=( )
A.-1
B.1
C.3
D.-3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=
1
2
x
+1
-
1
2
.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)设g(x)=x(
1
2
x
+1
-
1
2
),求证:对于任意x≠0,都有g(x)<0.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=log
2
1-x
1+x
.
(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)若关于x的方程f(x)=log
2
(x-k)有实根,求实数k的取值范围;
(3)问:方程f(x)=x+1是否有实根?如果有,设为x
0
,请求出一个长度为
1
8
的区间(a,b),使x
0
∈(a,b);如果没有,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
判断函数
f(x)=
-
1
4
x
2
+x,(x≥0)
-
1
4
x
2
-x,(x<0)
的奇偶性.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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