定义在实数R上的函数y=f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=-4x2+8x-3.(Ⅰ)求f(x)在R上的表达式;(Ⅱ)求y=f(x)的最大值,并写出f(x)
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在实数R上的函数y=f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=-4x2+8x-3. (Ⅰ)求f(x)在R上的表达式; (Ⅱ)求y=f(x)的最大值,并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明). |
答案
(Ⅰ)设x<0,则-x>0,∴f(-x)=)=-4(-x)2-8x-3=-4x2-8x-3. 又∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=)=-4x2-8x-3. ∴f(x)= | -4x2+8x-3 (x≥0) | -4x2-8x-3 (x<0) |
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(Ⅱ)当x≥0时,f(x)=-4x2+8x-3,图象为对称轴是x=1,开口向下的抛物线,当x=1时f(x)有最大值为1 当x<0时,f(x)=-4x2-8x-3,图象为对称轴是x=-1,开口向下的抛物线,当x=-1时f(x)有最大值为1 ∴f(x)的最大值是1. 函数单调增区间为(-∞,-1],和[0,1],单调减区间为[-1,0],和[1,+∞) |
举一反三
已知奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,若f(m-1)+f(2m-1)≤0,则m的取值范围是( )A.(-∞,) | B.(-∞,] | C.(0,) | D.(0,] |
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已知f(x)=loga(a>0,且a≠1), (1)判断奇偶性,并证明; (2)求使f(x)<0的x的取值范围. |
下列函数中是奇函数的序号是______; ①y=-; ②f(x)=x2; ③y=2x+1; ④f(x)=-3x,x∈[-1,2]. |
已知函数f(x)=(x≠0,a∈R) (Ⅰ)当a<0时,证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数; (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=loga(3+2x),g(x)=loga(3-2x),(a>0,且a≠1). (1)求函数f(x)-g(x)定义域; (2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明; (3)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围. |
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