已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有f(m)+f(n)m+n>0.(1)解不等式f(x+12)<
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已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有f(m)+f(n)m+n>0.(1)解不等式f(x+12)<
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时,有
f(m)+f(n)
m+n
>0
.
(1)解不等式
f(x+
1
2
)<f(1-x)
;
(2)若f(x)≤t
2
-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
答案
(1)任取x
1
,x
2
∈[-1,1]且x
1
<x
2
,则
f(
x
2
)-f(
x
1
)=f(
x
2
)+f(-
x
1
)=
f(
x
2
)+f(-
x
1
)
x
2
+(-
x
1
)
•(
x
2
-
x
1
)>0
∴f(x
2
)>f(x
1
),∴f(x)为增函数
∵
f(x+
1
2
)<f(1-x)
∴
-1≤x+
1
2
≤1
-1≤1-x≤1
x+
1
2
<1-x
∴
0≤x<
1
4
,
即不等式
f(x+
1
2
)<f(1-x)
的解集为
[0,
1
4
)
.
(2)由于f(x)为增函数,∴f(x)的最大值为f(1)=1,
∴f(x)≤t
2
-2at+1对x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,等价于t
2
-2at+1≥1对任意的a∈[-1,1]恒成立,
即t
2
-2at≥0对任意的a∈[-1,1]恒成立.
把y=t
2
-2at看作a的函数,由于a∈[-1,1]知其图象是一条线段.
∵t
2
-2at≥0对任意的a∈[-1,1]恒成立
∴
t
2
-2×(-1)×t≥0
t
2
-2×1×t≥0
∴
t
2
+2t≥0
t
2
-2t≥0
解得t≤-2或t=0或t≥2.
举一反三
函数
y=
1
|x|
-
x
2
的图象关于( )
A.y轴对称
B.直线y轴=-x对称
C.坐标原点对称
D.直线y=x对称
题型:单选题
难度:一般
|
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下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A.y=lgx
B.y=tanx
C.y=3
x
D.
y=
x
1
3
题型:单选题
难度:简单
|
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函数y=(m-1)
x
m
2
-m
为幂函数,则函数为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.增函数
D.减函数
题型:单选题
难度:一般
|
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A.2
B.0
C.1
D.不能确定
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)是定义在R上的奇函数,并且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2
x
,那么,当x∈(-∞,0)时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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