已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-x2.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)当x∈[-32,3]时,求f(x)的最大值与
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已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-x2.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)当x∈[-32,3]时,求f(x)的最大值与
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-x
2
.
(1)求函数y=f(x)的解析式.
(2)当
x∈[-
3
2
,3]
时,求f(x)的最大值与最小值.并求出相应x的值.
答案
(1)y=f(x)是定义在R上的奇函数⇒f(-x)=-f(x)⇒f(0)=0.
当x<0时,-x>0时,
所以:f(-x)=2(-x)-(-x)
2
=-2x-x
2
=-f(x)
即x≤0时f(x)=2x+x
2
∴
f(x)=
2x-
x
2
,x>0.
2x+
x
2
,x≤0.
(2)∵当x>0时,f(x)=2x-x
2
.对称轴为1,开口向下.
所以函数在[0,1]上递增,在[1,3]上递减;
当x=1时有最大值1,当x=3时有最小值-3.
又因为奇函数的图象关于原点对称,
所以当x∈[-
3
2
,0)时,在[-
3
2
,-1]上递减,在[-1,0]上递增;
当x=0时有最大值0,当x=-1时有最小值-1.
综上得:当
x∈[-
3
2
,3]
时,在x=1时有最大值1,当x=3时有最小值-3.
举一反三
已知函数f(x)=ln(
x
2
+1
+x)
,若实数a,b满足f(a-1)+f(b)=0,则a+b等于______.
题型:填空题
难度:一般
|
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奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且f(1-a)+f(2a-1)<0,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若关于x的不等式x
3
-3x
2
-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m的取值范围是( )
A.(-∞,7]
B.(-∞,-20]
C.(-∞,0]
D.[-12,7]
题型:单选题
难度:简单
|
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偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有( )
A.f(-1)>f(
π
3
)>f(-π)
B.f(
π
3
)>f(-1)>f(-π)
C.f(-π)>f(-1)>f(
π
3
)
D.f(-1)>f(-π)>f(
π
3
)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x) 满足
f(x-1)=lo
g
a
x+1
3-x
(a>0且a≠1)
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)当0<a<1时,解不等式f(x)≥log
a
2.
题型:解答题
难度:一般
|
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