已知函数f(x)=1+lnxx(1)确定f(x)的单调区间;(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥k2-kx+1恒成立,求实数k的取值范围.
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已知函数f(x)=1+lnxx(1)确定f(x)的单调区间;(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥k2-kx+1恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
1+lnx
x
(1)确定f(x)的单调区间;
(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥
k
2
-k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=
1+lnx
x
,∴
f′(x)=-
lnx
x
2
(x>0)
令f′(x)>0,可得0<x<1;令f′(x)<0,可得x>1
∴函数的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞);
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥
k
2
-k
x+1
恒成立,等价于
(x+1)(1+lnx)
x
≥k
2
-k
设g(x)=
(x+1)(1+lnx)
x
,则g′(x)=
x-lnx
x
2
令h(x)=x-lnx,则h′(x)=1-
1
x
∵x≥1,∴h′(x)≥0
∴h(x)在[1,+∞)上单调递增
∴h(x)的最小值为h(1)=1>0,∴g′(x)>0
∴g(x)在[1,+∞)上单调递增
∴g(x)的最小值为g(1)=2
∴k
2
-k≤2
∴-1≤k≤2.
举一反三
函数
f(x)=
1
x
3
-x
的图象关于( )
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称
D.直线y=x对称
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
x
3
a
2
图象上斜率为3的两条切线间的距离为
2
10
5
,函数
g(x)=f(x)-
3bx
a
2
+3
.
(1)若函数g(x)在x=1处有极值,求g(x)的解析式;
(2)若函数g(x)在区间[-1,1]上为增函数,且b
2
-mb+4≥g(x)在x∈[-1,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时,
f(x)=x(1+
3
x
)
,则当x∈(-∞,0)时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知x=1为函数f(x)=(x
2
-ax+1)e
x
的一个极值点.
(1)求a及函数f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x∈[-2,2],t∈[1,2],f(x)≥t
2
-2mt+2恒成立,求m取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列4个函数中是奇函数且最小正周期为2π的是( )
A.
y=
1
2
tanx
B.y=cos(π-x)
C.y=sin2x
D.
y=cos(x+
π
2
)
题型:单选题
难度:简单
|
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