已知函数f(x)=x2-x,g(x)=lnx-f(x)f"(x)(1)求g(x)的最大值及相应x的值;(2)对任意的正数x,恒有f(x)+f(1x)≥(x+1x

已知函数f(x)=x2-x,g(x)=lnx-f(x)f"(x)(1)求g(x)的最大值及相应x的值;(2)对任意的正数x,恒有f(x)+f(1x)≥(x+1x

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-x,g(x)=lnx-f(x)f"(x)
(1)求g(x)的最大值及相应x的值;
(2)对任意的正数x,恒有f(x)+f(
1
x
)≥(x+
1
x
)ln(m2-2m-2)
,求实数m的最大值.
答案
解(1)g(x)=lnx-(x2-x)(2x-1)=lnx-2x3+3x2-x,
g′(x)=
1
x
-6x2+6x-1=
(1-x)(6x2+1)
x
,(x>0)

当0<x<1时,g"(x)>0;当x>1时,g"(x)<0,
所以g(x)在(0,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数,
所以,当x=1时,g(x)取得最大值g(1)=0;
(2)f(x)+f(
1
x
)≥(x+
1
x
)ln(m2-2m-2)
,即(x2-x+
1
x2
-
1
x
)≥(x+
1
x
)ln(m2-2m-2)

可化为(x+
1
x
)2-2-(x+
1
x
)≥(x+
1
x
)ln(m2-2m-2)
①,
因为x>0,所以x+
1
x
≥2
(当x=1时取到等号),
x+
1
x
=t(t≥2)
,①可化为t2-2-t≥tln(m2-2m-2),即ln(m2-2m-2)≤t-
2
t
-1
当t≥2时恒成立,
h(t)=t-
2
t
-1,h′(x)=1+
2
t2
>0

所以h(t)在[2,+∞)上是增函数,所以h(t)≥h(2)=0,于是ln(m2-2m-2)≤0,
解不等式0<m2-2m-2≤1,解得-1≤m<1-


3
,1+


3
<m≤3

所以m的最大值为3.
举一反三
已知f(x)是偶函数,当x>0时,其导函数f′(x)<0,则满足f(
x
4
)=f(
x-1
x-3
)
的所有x之和为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若对任意实数p∈[-1,1],不等式px2+(p-3)x-3>0成立,则实数x的取值范围为(  )
A.(-1,1)B.(-3,-1)C.(3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设数列{an}是首项为4,公差为1的等差数列,Sn为数列{bn}的前n项和,且Sn=n2+2n.
(1)求数列{an}及{bn}的通项公式an和bn
(2)f(n)=





n+3,n为正奇数
2n+1,n为正偶数
问是否存在k∈N*使f(k+27)=4f(k)成立.若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;
(3)对任意的正整数n,不等式
a
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
1


n-1+an+1
≤0
恒成立,求正数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2-x,g(x)=lnx.
(1)求证:f(x)≥g(x);
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的值;
(3)设F(x)=f(x)+mg(x)(m∈R)有两个极值点x1、x2(x1<x2);求实数m的取值范围,并证明:F(x2)>-
3+4ln2
16
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,且f(1)>0,f(2)=
2m-3
m+1
,则m的取值范围是(  )
A.m<
3
2
B.m<
3
2
且m≠1
C.-1<m<
3
2
D.m>
3
2
或m<-1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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