已知函数f(x)=x2-x,g(x)=lnx-f(x)f"(x)(1)求g(x)的最大值及相应x的值;(2)对任意的正数x,恒有f(x)+f(1x)≥(x+1x
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已知函数f(x)=x2-x,g(x)=lnx-f(x)f"(x)(1)求g(x)的最大值及相应x的值;(2)对任意的正数x,恒有f(x)+f(1x)≥(x+1x
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=x
2
-x,g(x)=lnx-f(x)f"(x)
(1)求g(x)的最大值及相应x的值;
(2)对任意的正数x,恒有
f(x)+f(
1
x
)≥(x+
1
x
)ln(
m
2
-2m-2)
,求实数m的最大值.
答案
解(1)g(x)=lnx-(x
2
-x)(2x-1)=lnx-2x
3
+3x
2
-x,
g′(x)=
1
x
-6
x
2
+6x-1=
(1-x)(6
x
2
+1)
x
,(x>0)
,
当0<x<1时,g"(x)>0;当x>1时,g"(x)<0,
所以g(x)在(0,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数,
所以,当x=1时,g(x)取得最大值g(1)=0;
(2)
f(x)+f(
1
x
)≥(x+
1
x
)ln(
m
2
-2m-2)
,即
(
x
2
-x+
1
x
2
-
1
x
)≥(x+
1
x
)ln(
m
2
-2m-2)
,
可化为
(x+
1
x
)
2
-2-(x+
1
x
)≥(x+
1
x
)ln(
m
2
-2m-2)
①,
因为x>0,所以
x+
1
x
≥2
(当x=1时取到等号),
设
x+
1
x
=t(t≥2)
,①可化为t
2
-2-t≥tln(m
2
-2m-2),即
ln(
m
2
-2m-2)≤t-
2
t
-1
当t≥2时恒成立,
令
h(t)=t-
2
t
-1,h′(x)=1+
2
t
2
>0
,
所以h(t)在[2,+∞)上是增函数,所以h(t)≥h(2)=0,于是ln(m
2
-2m-2)≤0,
解不等式0<m
2
-2m-2≤1,解得
-1≤m<1-
3
,1+
3
<m≤3
,
所以m的最大值为3.
举一反三
已知f(x)是偶函数,当x>0时,其导函数f′(x)<0,则满足
f(
x
4
)=f(
x-1
x-3
)
的所有x之和为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若对任意实数p∈[-1,1],不等式px
2
+(p-3)x-3>0成立,则实数x的取值范围为( )
A.(-1,1)
B.(-3,-1)
C.(3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
设数列{a
n
}是首项为4,公差为1的等差数列,S
n
为数列{b
n
}的前n项和,且S
n
=n
2
+2n.
(1)求数列{a
n
}及{b
n
}的通项公式a
n
和b
n
;
(2)
f(n)=
n+3,n为正奇数
2n+1,n为正偶数
问是否存在k∈N
*
使f(k+27)=4f(k)成立.若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;
(3)对任意的正整数n,不等式
a
(1+
1
b
1
)(1+
1
b
2
)…(1+
1
b
n
)
-
1
n-1+
a
n+1
≤0
恒成立,求正数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=x
2
-x,g(x)=lnx.
(1)求证:f(x)≥g(x);
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的值;
(3)设F(x)=f(x)+mg(x)(m∈R)有两个极值点x
1
、x
2
(x
1
<x
2
);求实数m的取值范围,并证明:
F(
x
2
)>-
3+4ln2
16
.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,且f(1)>0
,f(2)=
2m-3
m+1
,则m的取值范围是( )
A.
m<
3
2
B.
m<
3
2
且m≠1
C.
-1<m<
3
2
D.
m>
3
2
或m<-1
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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